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4.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的( )
正确答案
解析
因为,是两个不同的平面,是直线且.若“”,则平面可能相交也可能平行,不能推出,反过来若,,则有,则“”是“”的必要而不充分条件,故选B.
考查方向
解题思路
m∥β并得不到α∥β,根据面面平行的判定定理,只有α内的两相交直线都平行于β,而α∥β,并且m⊂α,显然能得到m∥β,这样即可找出正确选项.
易错点
命题关系的理解运用
知识点
7.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是( )
正确答案
解析
如图所示,把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交,不等式的解为,用集合表示解集,故选C.
考查方向
解题思路
在已知坐标系内作出y=log2(x+1)的图象,利用数形结合得到不等式的解集.
易错点
函数图象平移的规律
知识点
8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
正确答案
解析
“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A错误;B中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B错误,C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油,C错误,D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选D.
考查方向
解题思路
本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力,本题属于中等题,有能力要求,贴近学生生活,要求按照“燃油效率”的定义,汽车每消耗1升汽油行驶的里程,可以断定“燃油效率”高的车省油,相同的速度条件下,“燃油效率”高的汽车,每消耗1升汽油行驶的里程必然大,需要学生针对四个选择只做出正确判断.
易错点
正确的视图能力
知识点
1.复数( )
正确答案
解析
根据复数乘法运算计算得:,故选A
考查方向
解题思路
数的概念的扩充部分主要知识点有:复数的概念、分类,复数的几何意义、复数的运算,特别是复数的乘法与除法运算,运算时注意,注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法,求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.
易错点
复数运算性质
知识点
5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )
正确答案
解析
根据三视图恢复成三棱锥,其中平面ABC,取AB棱的中点D,连接CD、PD,有,底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2,AD=BD=1,PC=1,,,,,三棱锥表面积,故选C.
考查方向
解题思路
本题考查三视图及多面体的表面积,本题属于基础题,正确利用三视图还原为原几何体,特别是有关数据的还原,另外要利用线面垂直的性质,判断三角形的形状,特别是侧面的形状为等腰三角形,正确求出三个侧面的面积和底面的面积
易错点
本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观图,得出几何体的性质.
知识点
6.设是等差数列.下列结论中正确的是( )
正确答案
解析
先分析四个答案支,A举一反例,而,A错误,B举同样反例,,而,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于
,则,故选C.
考查方向
解题思路
由于前两个选项无法使用公式直接做出判断,因此学生可以利用举反例的方法进行排除,这需要学生不能死套公式,要灵活应对,作差法是比较大小常规方法,对判断第三个选择只很有效.
易错点
等差数列性质的正确理解
知识点
3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )
正确答案
解析
运行程序:,,,因为不满足,,,因为不满足,,,因为满足,输出,故选B.
考查方向
解题思路
本题考查程序框图的程序运行,本题为基础题,掌握循环程序的运行方法,框图以赋值框和条件框为主,按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行,注意条件框的要求是否满足,运行程序时要准确.
易错点
判断框的理解运用
知识点
2.若,满足则的最大值为( )
正确答案
解析
如图,先画出可行域,由于,则,令,作直线,在可行域中作平行线,得最优解,此时直线的截距最大,取得最小值2,故选D.
考查方向
解题思路
本题考查线性规划解题的基本方法,本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域,利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义,令,画出直线,在可行域内平移该直线,确定何时取得最大值,找出此时相应的最优解,依据线性目标函数求出最值,这是最基础的线性规划问题.
易错点
取得最值点的坐标
知识点
9.在的展开式中,的系数为 .(用数字作答)
正确答案
40
解析
利用通项公式,,令,得出的系数为.
考查方向
解题思路
写出二项式定理展开式的通项公式,利用x的指数为3,求出r,然后求解所求数值.
易错点
二项式通项公式正确运用
知识点
11.在极坐标系中,点到直线的距离为______.
正确答案
1
解析
先把点极坐标化为直角坐标,再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用点到直线距离公式.
考查方向
解题思路
本题考查极坐标基础知识,要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化,然后利用点到直线距离公式求出距离,本题属于基础题,先把点的极坐标化为直角坐标,再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,最后求点到直线的距离.
易错点
极坐标方程与普通方程的转化
知识点
10.已知双曲线的一条渐近线为,则_____.
正确答案
解析
双曲线的渐近线方程为,,,则
考查方向
解题思路
本题考查双曲线的几何性质,重点考查双曲线的渐近线方程,本题属于基础题,正确利用双曲线的标准方程,求出渐近线方程,求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”,利用已知渐近线方程,求出参数的值.
易错点
渐近线方程的准确运用
知识点
13.在中,点,满足,.若,则 ; .
正确答案
解析
特殊化,不妨设,利用坐标法,以A为原点,AB为轴,为轴,建立直角坐标系,,,则,
.
考查方向
解题思路
本题考查平面向量的有关知识及及向量运算,利用向量相等条件求值,本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系,准确写出相关点的坐标、向量的坐标,利用向量相等,列方程组,解出未知数的值.
易错点
准确写出相关点的坐标、向量的坐标
知识点
12.在中,,,,则 .
正确答案
1
解析
.
考查方向
解题思路
题目所求分式的分子为二倍角正弦,应用二倍角的正弦公式进行恒等变形,变形后为角的正弦、余弦式,灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边,再把边长代入求值.
易错点
灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.
知识点
14.设函数
①若,则的最小值为_______;
②若恰有2个零点,则实数的取值范围是________.
正确答案
(1)1,(2)或.
解析
①时,,函数在上为增函数,函数值大于1,在为减函数,在为增函数,当时,取得最小值为1;
(2)①若函数在时与轴有一个交点,则,并且当时,,则,函数与轴有一个交点,所以;
②若函数与轴有无交点,则函数与轴有两个交点,当时与轴有无交点,在与轴有无交点,不合题意;当时,,与轴有两个交点,和,由于,两交点横坐标均满足;综上所述的取值范围或.
考查方向
解题思路
本题考点为函数的有关性质,涉及函数图象、函数的最值,函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性,求出函数的最值,涉计参数问题,针对参数进行分类讨论.
知识点
已知函数.
15.求的最小正周期;
16.求在区间上的最小值.
正确答案
(Ⅰ).
解析
试题分析:先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为形式,再利用周期公式求出周期.
的最小正周期为;
考查方向
解题思路
本题考查三角函数式的恒等变形,本题属于基础题,要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形,化为标准的形式,借助正弦函数的性质去求函数的周期,但要注意函数的定义域,求最值要给出自变量的取值.
易错点
三角函数恒等变换公式的灵活运用.
正确答案
(Ⅱ).
解析
试题分析:由于则可求出,借助正弦函数图象找出在这个范围内当,即时,取得最小值为:.
(Ⅱ),当时,取得最小值为:
考查方向
解题思路
本题考查三角函数的图象与性质,本题属于基础题,化为标准的形式,借助正弦函数的性质去求函数的最值等,但要注意函数的定义域,求最值要给出自变量的取值.
易错点
注意函数的定义域,求最值要给出自变量的取值,整体法求解三角函数最值.
,两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
组:10,11,12,13,14,15,16
组:12,13,15,16,17,14,
假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的
人记为乙.
17.求甲的康复时间不少于14天的概率;
18.如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
19.当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
正确答案
(Ⅰ)
解析
试题分析:针对甲有7种情况,康复时间不少于14天有3种情况,概率为.
(Ⅰ)甲有7种取法,康复时间不少于14天的有3种取法,所以概率;
考查方向
解题思路
本题考查古典概型和样本的方差,本题属于基础题,利用列举法准确列举事件的种数,求出概率.
易错点
准确列举基本事件.
正确答案
(Ⅱ).
考查方向
解题思路
本题考查古典概型,属于基础题,利用列举法准确列举事件的种数,求出概率.【解析】试题分析:如果,甲、乙随机各取一人有49种情况,用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种,概率为.
(Ⅱ) 如果,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙共有49种取法,甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下:(13,12),(14,12),(14,13),(15,12),(15,13),(15,14),(16,12)(16,13),(16,15),(16,14)有10种取法,所以概率.
易错点
对立事件概率求解;准确列举基本事件;根据方差定义解方程
正确答案
(Ⅲ)或
解析
试题分析:由于A组数据为10,11,12,13,14,15,16;B组数据调整为,12,13,14,15,16,17,或12,13,14,15,16,17,,由于,两组病人康复时间的方差相等,即波动相同,所以或.
(Ⅲ)把B组数据调整为,12,13,14,15,16,17,或12,13,14,15,16,17,,可见当或时,与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明,但本题不需要)
考查方向
解题思路
根据方差反应样本波动的大小,求出未知量.
易错点
根据方差定义解方程
如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,
,,,为的中点.
20.求证:;
21.求二面角的余弦值;
22.若平面,求的值.
正确答案
(Ⅰ)略.
解析
试题分析:证明线线垂直可寻求线面垂直,利用题目提供的面面垂直平面平面,借助性质定理证明平面EFCB,进而得出线线垂直.
(Ⅰ)由于平面平面,为等边三角形,为的中点,则,根据面面垂直性质定理,所以平面EFCB,又平面,则.
考查方向
解题思路
本题考查线线、线面垂直及求二面角的相关知识及运算,本题属于中档题,熟练利用有关垂直的判定定理和性质定理进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化与证明.
易错点
线线垂直的转化.
正确答案
(Ⅱ).
解析
试题分析:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,平面AEF的法向量易得,只需求平面AEB的法向量,设平面AEB的法向量,利用线线垂直,数量积为零,列方程求出法向量,再根据二面角公式求出法向量的余弦值.
(Ⅱ)取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,,,,由于平面与轴垂直,则设平面的法向量为,设平面的法向量,,,,,则,二面角的余弦值,由二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为.
考查方向
解题思路
本题考查求二面角的相关知识及运算,本题属于中档题,利用空间向量解题时,要建立适当的直角坐标系,准确写出空间点的坐标,利用法向量求二面角.
易错点
平面法向量的求解.
正确答案
(Ⅲ).
解析
试题分析:由于,要想平面,只需,利用向量的坐标,借助数量积为零,求出的值,根据实际问题予以取舍.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面EFCB,则,若平面,只需, ,又,
,解得或,由于,则.
考查方向
解题思路
本题考查利用数量积为零,解决线线、线面垂直问题.
易错点
平面向量坐标运算与函数性质的灵活运用.
已知函数.
23.求曲线在点处的切线方程;
24.求证:当时,;
25.设实数使得对恒成立,求的最大值.
正确答案
(Ⅰ).
解析
试题分析:利用导数的几何意义,求出函数在处的函数值及导数值,再用直线方程的点斜式写出直线方程
(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为;
考查方向
解题思路
本题考查导数的几何意义,第一步为基础,首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标,写出切线方程.
易错点
导数的几何意义
正确答案
(Ⅱ)略.
解析
试题分析:要证明不等式在成立,可用作差法构造函数,利用导数研究函数在区间(0,1)上的单调性,由于,在(0,1)上为增函数,则,问题得证.
(Ⅱ)当时,,即不等式,对成立,设,则,当时,,故在(0,1)上为增函数,则,因此对,成立;
考查方向
解题思路
本题考查利用导数研究函数的单调性,证明不等式.
易错点
构造函数的单调性与原函数之间的关系.
正确答案
(Ⅲ)的最大值为2.
解析
试题分析:构造函数研究函数单调性,但需要对参数作讨论,首先符合题意,其次当时,不满足题意舍去,得出的最大值为2.
(Ⅲ)使成立,,等价于,;,
当时,,函数在(0,1)上位增函数,,符合题意;
当时,令,
0
+
极小值
,显然不成立,
综上所述可知:的最大值为2.
考查方向
解题思路
本题考查作差法构造函数,利用导数研究函数的单调性,证明不等式,对参数进行分类讨论研究.
易错点
函数单调性的灵活运用.
已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.
26.求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);
27.设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
正确答案
(Ⅰ),.
解析
试题分析:(I)根据椭圆的几何性质得出得到椭圆中长半轴,短半轴,半焦距之间的关系求解即可.
(Ⅰ)由于椭圆:过点且离心率为,,,椭圆的方程为.
,直线的方程为:,令,;
考查方向
解题思路
本题考查双曲线的几何性质,重点考查双曲线的渐近线方程,本题属于基础题,正确利用双曲线的标准方程,求出渐近线方程,求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”,利用已知渐近线方程,求出参数的值.
易错点
椭圆的几何性质
正确答案
(Ⅱ)存在点.
解析
试题分析:(II)求解得出M,N点坐标,运用图形得出,求解即可得出即可证明问题.
(Ⅱ),直线的方程为:,直线PB与x轴交于点N,令,则.设
, ,
,
则 ,所以 ,(注:点在椭圆上,) ,则 ,存在点 使得.
考查方向
解题思路
根据直线与椭圆的位置关系,设出点M,N坐标,然后根据几何关系结合坐标运算求得点Q的坐标即可证明问题.
易错点
角相等于斜率的关系
已知数列满足:,,且.记集合.
28.若,写出集合的所有元素;
29.若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;
30.求集合的元素个数的最大值.
正确答案
(Ⅰ);
解析
试题分析:(Ⅰ),利用可求得集合M的所有元素为6,12,24
(Ⅰ)由已知可知:
考查方向
解题思路
即考查了数列(分段形函数)求值,考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力,本题属于拔高难题.
易错点
分段函数形数列通项公式求值.
正确答案
(Ⅱ)证明见解析;
解析
试题分析:(Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.
(Ⅱ)因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,可用用数学归纳法证明对任意,是3的倍数,当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或,所以是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数,因此的所有元素都是3的倍数.
考查方向
解题思路
考查了归纳法证明和对数据的分析研究,考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力,本题属于拔高难题.
易错点
归纳法证明.
正确答案
(III )8.
解析
试题分析:(Ⅲ)分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论,即可求得集合M的元素个数的最大值.
(Ⅲ)由于中的元素都不超过36,由,易得,类似可得,其次中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,M中的数除以9的余数,由定义可知,和除以9的余数一样,
①若中有3的倍数,由(2)知:所有的都是3的倍数,所以都是3的倍数,所以除以9的余数为为3,6,3,6,...... ,或6,3,6,3......,或0,0,0,...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12,除以9余6且是4的倍数只有24,除以9余0且是4的倍数只有36,则M中的数从第三项起最多2项,加上前面两项,最多4项.
②中没有3的倍数,则都不是3的倍数,对于除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个,从起,除以9的余数是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,...... ,不断的6项循环(可能从2,4,8,7或5开始),而除以9的余数是1,2,4,8,5且是4的倍数(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M中的项加上前两项最多8项,则时,,项数为8,所以集合的元素个数的最大值为8.
考查方向
解题思路
考查了数据的分析研究,考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力,本题属于拔高难题,适合选拔优秀学生.
易错点
数列元素分析.