2018年高考真题 理科数学 (天津卷)
精品
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前去估分
单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.

AA

BB

CC

DD

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.

AA

BB

CC

DD

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.选择题(每小题5分,满分40分):在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.

A6

B19

C21

D45

正确答案

C
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为

A1

B2

C3

D4

正确答案

B
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.

AA

BB

CC

DD

正确答案

C
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

正确答案

4-i

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.已知圆的圆心为C,直线(为参数)与该圆相交于AB两点,则的面积为           .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.已知,且,则的最小值为             .

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

11. 已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点EFGHM(如图),则四棱锥的体积为          .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是              .

正确答案

(4,8)

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

15..解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(本小题满分13分)

中,内角ABC所对的边分别为abc.已知.

(I)求角B的大小;

(II)设a=2,c=3,求b的值.

正确答案

(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.

(Ⅰ)解:在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=

(Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=

,可得.因为a<c,故.因此

所以,

1
题型:简答题
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分值: 14分

19.(本小题满分14分)

设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.

(I)求椭圆的方程;

(II)设直线l与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.

(O为原点) ,求k的值.

正确答案

(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.

(Ⅰ)解:设椭圆的焦距为2c,由已知知,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,,由,可得ab=6,从而a=3,b=2.

所以,椭圆的方程为

(Ⅱ)解:设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故.又因为,而∠OAB=,故.由,可得5y1=9y2.

由方程组消去x,可得.易知直线AB的方程为x+y–2=0,由方程组

消去x,可得.由5y1=9y2,可得5(k+1)=,两边平方,整理得,解得,或

所以,k的值为

1
题型:简答题
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分值: 14分

20.(本小题满分14分)

已知函数,其中a>1.

(I)求函数的单调区间;

(II)若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行,证明

(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.

正确答案

(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.

(I)解:由已知,,有.

,解得x=0.

a>1,可知当x变化时,的变化情况如下表:

所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.

(II)证明:,可得曲线在点处的切线斜率为.

,可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行,故有,即.

两边取以a为底的对数,得,所以.

(III)证明:曲线在点处的切线l1:.

曲线在点处的切线l2:.

要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,使得l1和l2重合.

即只需证明当时,方程组有解,

由①得,代入②,得.   ③

因此,只需证明当时,关于x1的方程③有实数解.

设函数,即要证明当时,函数存在零点.

,可知时,时,单调递减,又

,故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即

.

由此可得上单调递增,在上单调递减. 处取得极大值.

因为,故

所以.

下面证明存在实数t,使得.

由(I)可得

时,

所以存在实数t,使得

因此,当时,存在,使得.

所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.#

1
题型:简答题
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分值: 13分

16. (本小题满分13分)

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;

(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

正确答案

(16)本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

(Ⅰ)解:由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.

(Ⅱ)(i)解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

PX=k)=k=0,1,2,3).

所以,随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望

(ii)解:设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且BC互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=

所以,事件A发生的概率为

1
题型:简答题
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分值: 13分

17.(本小题满分13分)

如图,AD=2BC,EG=ADCD=2FGDA=DC=DG=2.

(I)若MCF的中点,NEG的中点,求证:

(II)求二面角的正弦值;

(III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.

正确答案

(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

依题意,可以建立以D为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).

(Ⅰ)证明:依题意=(0,2,0),=(2,0,2).设n0=(xyz)为平面CDE的法向量,则 不妨令z=–1,可得n0=(1,0,–1).又=(1,,1),可得,又因为直线MN平面CDE,所以MN∥平面CDE

(Ⅱ)解:依题意,可得=(–1,0,0),=(0,–1,2).

n=(xyz)为平面BCE的法向量,则 不妨令z=1,可得n=(0,1,1).

m=(xyz)为平面BCF的法向量,则 不妨令z=1,可得m=(0,2,1).

因此有cos<mn>=,于是sin<mn>=

所以,二面角EBCF的正弦值为

(Ⅲ)解:设线段DP的长为hh∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得

易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故

由题意,可得=sin60°=,解得h=∈[0,2].

所以线段的长为.

1
题型:简答题
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分值: 13分

18.(本小题满分13分)

是等比数列,公比大于0,其前n项和为是等差数列. 已知.

(I)求的通项公式;

(II)设数列的前n项和为

(i)求

(ii)证明.

正确答案

(18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

(I)解:设等比数列的公比为q.可得.

因为,可得,故.

设等差数列的公差为d,由,可得

可得 从而 故

所以数列的通项公式为,数列的通项公式为

(II)(i)由(I),有,故

.

(ii)证明:因为

所以,.

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