题目

我们在学习垂直平分线的过程中，发现三角形各边的垂直平分线（类似于三角形的高线、中线和角平分线）相交于一点．

（1）三角形三边的垂直平分线的交点一定___
A．到三条边的距离相等
B．到三个顶点的距离相等
（2）如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，小明同学通过画AC，BC的垂直平分线，发现它们相交于斜边上一点P，此时∠APB=180°．
于是小明展开了进一步的探究：如图 2，△ABC中，∠ACB<90°，边AC、BC的垂直 平分线交于点P．
①若△ABC是等边三角形时，则∠APB=___°；
②请猜想此时∠APB与∠ACB存在的等量关系，并说明理由；
（3）小明还想要继续研究∠ACB>90°时，∠APB与∠ACB存在的等量关系（如图3）．此时，题（2）②中的关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出你认为正确的关系；
（4）通过上面的研究，当∠ACB=___，△PBA是等边三角形．

答案

（1）由垂直平分线的性质定理得，三角形三边的垂直平分线的交点一定到三个顶点的距离相等
故选B；
（2）①如图2，
连接PC
∵PC=PA
∴∠PCA=∠PAC
∵PC=PB
∴∠PCB=∠PBC
∴∠PAB+∠PBA=（∠BAC-∠CAP）+（∠ABC-∠CBP）
=（∠BAC+∠ABC）-（∠CAP+∠CBP）
=180°-∠ACB-∠ACB
=180°-2∠ACB
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（180°-2∠ACB）
=2∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠APB=2∠ACB=120°，
故答案为：120°
②∠APB=2∠ACB
理由：如图2，连接PC
∵PC=PA
∴∠PCA=∠PAC
∵PC=PB
∴∠PCB=∠PBC
∴∠PAB+∠PBA=（∠BAC-∠CAP）+（∠ABC-∠CBP）
=（∠BAC+∠ABC）-（∠CAP+∠CBP）
=180°-∠ACB-∠ACB
=180°-2∠ACB
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（180°-2∠ACB）
=2∠ACB
（3）题（2）②中的关系不成立，新结论是：∠APB=360°-2∠ACB；
理由：如图3，
连接PC
∵PC=PA
∴∠PCA=∠PAC
∵PC=PB
∴∠PCB=∠PBC
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAP-∠BAC）+（∠CBP-∠ABC）
=（∠CAP+∠CBP）-（∠BAC+∠ABC）
=∠ACB-（180°-∠ACB）
=2∠ACB-180°
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（2∠ACB-180°）
=360°-2∠ACB，
（4）当∠ACB<90°时，由（2）知，∠APB=2∠ACB，
∵△PBA是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴2∠ACB=60°，
∴∠ACB=30°，
当∠ACB>90°时，由（3）知，∠APB=360°-2∠ACB，
∵△PBA是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴360°-2∠ACB=60°，
∴∠ACB=150°，
故答案为：150°或30°，

解析