等差数列
共11217题

等差数列
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题型：简答题

简答题

（本小题满分10分）

小正方形按照如图规律排列，用表示图（n）中小正方形的个数（n为正整数）。

（I）按照如图规律写出的值；

（II）合情推理写出的表达式，并简要写出推理过程。

正确答案

解：（Ⅰ）按照如图规律得，。………………4分

（Ⅱ）的表达式为（为正整数）。 ………………6分

简要推理过程如下：

推理一：∵，，，，，，

∴（为正整数）。………………满分8分

推理二：∵，，，，

，， ………………8分

∴（为正整数）。 ………………满分10分

推理三：∵，，，，

，， ………………8分

∴（为正整数）。 ………………满分10分

推理四：∵，，，，

，， ………………8分

∴（，为正整数）。 ………………9分

∴利用叠加法得（为正整数）。………………满分10分

略

题型：填空题

填空题

已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是。

正确答案

略

题型：简答题

简答题

设正项数列的前项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论.

正确答案

（1）

(1)由得：，

相减并整理得：

，，即

是等差数列

，

(2)由，解得：

猜想：，使成立

下面证明猜想成立：即证对一切正整数都成立

令，

则

两式相减得：

故原命题获证 .

题型：填空题

填空题

已知为等差数列，，则

正确答案

方法1：

方法2：，

方法3：令，则

方法4：为等差数列，

也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项.

方法5：为等差数列，三点共线

【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法.

题型：填空题

填空题

已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．

正确答案

题型：简答题

简答题

成等差数列的四个数的和为，第二数与第三数之积为，求这四个数

正确答案

或

设四数为，则

即，

当时，四数为

题型：简答题

简答题

正项数列满足，

（1）若，求的值；

（2）当时，证明：；

（3）设数列的前项之积为，若对任意正整数，总有成立，求的取值范围

正确答案

（1）

（2）；

（3）实数的取值范围是

（1）因为所以，解得或（舍去）

由的任意性知， ……………3分

（2）反证法：假设 ……………4分

即，则得

依此类推，这与矛盾。

所以假设不成立，则 ……………7分

（3）由题知，当时，，

所以

同理有

将上述个式子相乘，得，

即 ……………11分

当时，也成立，

所以 ……………12分

从而要使对任意的恒成立，

只要使对任意的恒成立即可。

因为数列单调递增，所以 ……………13分

即

所以实数的取值范围是

又a>0, 所以实数的取值范围是………14分

题型：简答题

简答题

（本题满分14分）已知数列的前n项和为，对任意的，点，均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求使成立的的最大值.

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) 9

：（Ⅰ）由题意得，则

所以…………5分

又所以………7分

（Ⅱ）因为

所以……9分

则

所以得………………14分

所以使成立的的最大值为9.…15分

题型：填空题

填空题

数列{}是等差数列，，则_________

正确答案

题型：简答题

简答题

定义数列如下：

证明：（1）对于恒有成立。

（2）当，有成立。

（3）。

正确答案

证明见解析

证明：（1）用数学归纳法易证。

（2）由得：

… …

以上各式两边分别相乘得：

，又

（3）要证不等式，

可先设法求和：，再进行适当的放缩。

又

原不等式得证。

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