热门试卷

（1） 。；（2）；（3） ，

试题分析：（1）证明： 。

（2）由（1）的 

由错位相减法得

（3） 

考点：

点评：若已知递推公式为的形式求通项公式常用累加法。

注：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

（1）先利用,求出的通项公式.

(2)求出数列然后讨论去绝对值知，

当；

当

当……3分

对于也适合，   ………………5分

当；  ………………5分

当 …………9分

综上

（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．       ……2分

数列能结束，各数列依次为；；；．

……………3分

（Ⅱ）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．……4分

若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．……5分

当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．

当时，数列．

由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列．

其它情形同理，得证．

在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列．         ………8分

所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．

（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．

证明：记数列中最大项为，则．

令，，其中．

因为， 所以，

故，证毕．                    ……………9分

现将数列分为两类．

第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，．     

第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．

下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．

不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）

①当数列中只有一项为时，

若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；

若，则；；，

此数列各项均不为，为第一类数列．

②当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；

若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．

③当数列中有三项为时，只能是，则，

，，此数列各项均不为，为第一类数列．

总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．

又因为各数列的最大项是非负整数，

故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束．                ………………13分

略

前8项和最大，最大值为64

略

（Ⅰ）设的公差为，

因为所以解得 或（舍），．

故 ，．                 ……………6分

（Ⅱ）因为，所以．………8分

故

略

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

（1），∴数列为等差数列，设公差为 。

、、成等比数列，∴ 

4分

（2）①证明：

∴数列｛｝的公比为3，首项为+2=3的等比数列。

   ………4分

②由题意，∴

相减得

∴当时，。     ………6分