热门试卷

（Ⅰ）的导数≥2

（Ⅱ）满足条件的a的取值范围是

解：（Ⅰ），

由于－2，故,

（当且仅当x=0时，等号成立.）

（II）令则

（i）若，当x>0时，

故上为增函数.

所以，时，，即.

（ii）若a>2，方程的正根为，

此时，若时，相矛盾.

综上，满足条件的a的取值范围是

（Ⅰ）f′(x)=（x＞0）

（1）a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）当a＜0时，由f′(x)＞0⇒x＜，由f′(x)＜0⇒x＞

考虑到x＞0，得f（x）在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减．

（Ⅱ）a=0时，f(x)=lnx，k=，不等式x1＜＜x2⇔x1＜＜x2⇔1-＜ln＜-1，令=t(t＞1)，即证1-＜lnt＜t-1（8分）

由于t＞1，令g（t）=lnt+⇒g′(t)=-=＞0，所以g（t）＞g（1）=1，

即不等式lnt＞1-成立，令h(t)=lnt-t⇒h′(t)=-1＜0⇒h(t)＜h(1)=-1

即lnt＜t-1，所以，不等式1-＜lnt＜t-1成立，即得原不等式成立（14分）

（Ⅰ）由已知：f'（x）=(a＞0)

依题意得：≥0对x∈[1，+∞）恒成立

∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立

∴a-1≥0即：a≥1

（Ⅱ）∵a=1

∴f（x）=+lnx，

∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴n≥2时：f（）=+ln=ln-＞f(1)=0

即：＜ln

∴+++…+＜ln+ln+…+ln=lnn

设g（x）=lnx-x  x∈[1，+∞），

则g′(x)=-1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，

∴g（x）在[1+∞）为减函数，∵＞1

∴n≥2时：g（）=ln-＜g（1）=-1＜0

即：ln＜=1+（n≥2）

∴lnn=ln+ln+ln+…+ln＜(1+)+(1+)+…+(1+)=n+++…+

综上所证：++…+＜lnn＜n+++…+（n∈N*且≥2）成立．

（1）∵函数f（x）=x2-mlnx，

∴切点为（1，1），f′(x)=2x-，

∵曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，

∴k=f'（1）=1，即m=1

（2）f（x）-h（x）=0，等价于x2-2lnx=x2-x+a，即a=x-2lnx

令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-=

∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x-2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x-2lnx在[2，3]内单调递增．

又因为g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3

故2-2ln2＜a≤3-2ln3

（3）∵h（x）=x2-x+a在(0，)单调递减；(，+∞)单调递增

∴f（x）=x2-mlnx也应在(0，)单调递减；(，+∞)单调递增

∵f′(x)=2x-=，

∴当m≤0时，f（x）=x2-mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且=，即m=，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间．

（1）由于f'（x）=3x2+2ax-5

而函数y=x3+ax2-5x+b在x=-1处取得极值2，则f'（-1）=0，f（-1）=2

即解得

故实数a和b都为-1；

（2）由于f′（x）=3x2+2ax-5=（3x-5）（x+1）

若令f′（x）＞0，则x＜-1或x＞；若令f′（x）＜0，则-1＜x＜．

故f（x）的单调递增区间为：（-∞，-1），（，+∞）；f（x）的单调递减区间为：（-1，）．

（1）证明：令F(x)=-g()

∴F′(x)=

易知F（X）在[0，+∞）为增函数，

所以F（X）＞F（0）=0

即＞g()

（2）由h′（x）=0得x=-1，0，1，

再由h（1）＜0，h（0）＞0，h（-1）＜0

易得-ln2＜m＜0时，函数h(x)=-f(x2)-m恰有四个不同的零点

（Ⅰ）若a=3，b=-9，

则f'（x）=3x2-2ax+b=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）．

令f/（x）＞0，即3（x+1）（x-3）＞0．则x＜-1或x＞3．

∴f（x）的单调增区间是（-∞，-1），（3，+∞）．

令f/（x）＜0，即3（x+1）（x-3）＜0．则-1＜x＜3．

∴f（x）的单调减区间是（-1，3）．

（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x0，y0），

则曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率k=f'（x0）=3x02-2ax0+b．

由题意，知f'（x0）=3x02-2ax0+b=0有解，

∴△=4a2-12b≥0即a2≥3b．

（1）∵f（x）=2x3-3ax2+1，∴f'（x）=6x2-6ax．依题意得f'（1）=6-6a=0，解得a=1．

所以f（x）=2x3-3x2+1，f'（x）=6x（x-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1．列表如下：

所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1；

当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．

（2）∵f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），

∴①当a=0时，f′（x）=6x2≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；

②当a＞0时，f′（x）=6x（x-a），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

由上表可知，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；

③同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．

综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；

当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）．

（1）由f(x)=lnx+，a∈R，所以f′(x)=-=．

定义域为（0，+∞），

由f′（x）=0，得x-2a=0，即x=2a．

所以，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以在（0，+∞）上f（x）有极小值点x=2a，由已知x=2是函数f（x）的极值点，

所以2a=2，则a=1；

（2）由f(x)=lnx+，a∈R，所以f′(x)=-=．

若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则f′(x)=≥0在[2，+∞）恒成立，

即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是a≤在[2，+∞）恒成立，

所以a≤1．

所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（-∞，1]；

（3）由（2）知，以f′(x)=-=，

若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，

f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，a=，不合题意；

若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．

当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，

当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以当2a≤1，即a≤时，f（x）在[1，e]上为增函数，

最小值为f（1）=2a=3，a=，不合题意；

当2a≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]上为减函数，

最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；

当1＜2a＜e，即＜a＜时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意．

综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．