- 二项式定理
- 共3480题
如果X是离散型随机变量，Y=3X+2，那么（ ）
正确答案
解析
解：由于X是离散型随机变量，Y=3X+2呈线性关系，代入公式则EY=3EX+2，DY=DY=k2DX=9DX．
故选：B．
已知随机变量X的分布列如图，则p的值为（ ）
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：由题意，
∴p=
故选B．
某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？
正确答案
解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等奖的概率P（ξ=240）=
P（ξ=60）=
P（ξ=30）=
P（ξ=0）=1-
∴变量的分布列是ξ
∴E ξ==20
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1-
四次抽奖是相互独立的
∴中奖次数η～B（4，）
∴Dη=4×
解析
解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等奖的概率P（ξ=240）=
P（ξ=60）=
P（ξ=30）=
P（ξ=0）=1-
∴变量的分布列是ξ
∴E ξ==20
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1-
四次抽奖是相互独立的
∴中奖次数η～B（4，）
∴Dη=4×
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ=|x-2|+|y-x|．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤3，且当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=3．
因此，随机变量ξ的最大值为3．
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴
即随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，3．
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况．
∴
∴随机变量ξ的分布列为：
∴数学期望．
解析
解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤3，且当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=3．
因此，随机变量ξ的最大值为3．
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴
即随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，3．
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况．
∴
∴随机变量ξ的分布列为：
∴数学期望．
一篮球运动员投篮得分ξ的分布列如下表
且abc≠0，已知他投篮一次得出的数学期望为1（不计其它得分情况），则ab的最大值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由已知3a+2b+0×c=1，
即3a+2b=1，
∴ab=
当且仅当3a=2b=
所以，ab的最大值为
故选B．
一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；
（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则
P（A）=
答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为
（Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则
P（B）=
答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为
（Ⅲ）X的取值为2，3，4，5．
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
所以X的分布列为
X的数学期望EX=2×+3×+4×+5×=．
解析
解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则
P（A）=
答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为
（Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则
P（B）=
答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为
（Ⅲ）X的取值为2，3，4，5．
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
所以X的分布列为
X的数学期望EX=2×+3×+4×+5×=．
道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：
（1）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数．
（2）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义．
（3）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的．依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率．（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议．
正确答案
解：（1）由题意知检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，
其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，
∴违法驾车发生的频率=
醉酒驾车占违法驾车总数的百分数为
（2）解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量ξ，
则ξ可能取到的值有0，1，2
则分布列如下
（3）被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的对立事件是没有人发生交通事故，
由相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率得到
p=1-0.96•0.752≈0.70
一句话倡议：答案开放，教师酌情给分．
解析
解：（1）由题意知检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，
其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，
∴违法驾车发生的频率=
醉酒驾车占违法驾车总数的百分数为
（2）解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量ξ，
则ξ可能取到的值有0，1，2
则分布列如下
（3）被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的对立事件是没有人发生交通事故，
由相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率得到
p=1-0.96•0.752≈0.70
一句话倡议：答案开放，教师酌情给分．
一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分布列．
（1）每次取出的产品不再放回去；
（2）每次取出的产品仍放回去；
（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中．
正确答案
解：（1）ξ的所有可能值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
所以ξ的分布列为：
（2）由于每次取出的产品仍放回去，下次取时和前一次情况完全相同，所以，
ξ可能取的值是1，2，3，…k，…，相应取值的概率为：
P（ξ=1）=，P（ξ=2）=•=，P（ξ=3）=••=，┅，
P（ξ=k）=（ ）k-1•．
所以ξ的分布列为：
（3）ξ可能取的值有1，2，3，4．取这些值时的概率分别为：
P（ξ=1）=，P（ξ=2）=•=，P（ξ=3）=••=，P（ξ=4）=•••=，
所以ξ的分布列为：
解析
解：（1）ξ的所有可能值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
P（ξ=4）=
所以ξ的分布列为：
（2）由于每次取出的产品仍放回去，下次取时和前一次情况完全相同，所以，
ξ可能取的值是1，2，3，…k，…，相应取值的概率为：
P（ξ=1）=，P（ξ=2）=•=，P（ξ=3）=••=，┅，
P（ξ=k）=（ ）k-1•．
所以ξ的分布列为：
（3）ξ可能取的值有1，2，3，4．取这些值时的概率分别为：
P（ξ=1）=，P（ξ=2）=•=，P（ξ=3）=••=，P（ξ=4）=•••=，
所以ξ的分布列为：
某运动员投篮投中的概率p=0.6，那么该运动员重复5次投篮，投中次数η的期望是______；方差是______．
正确答案
3
1.2
解析
解：某运动员投篮投中的概率p=0.6，那么该运动员重复5次投篮，此是一个二项分布的模型
∴Eη=5×0.6=3
Dη=5×0.6×（1-0.6）=1.2
故答案为：3；1.2．
某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（Ⅱ）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 （3+5）：（2+2）=2：1，
∴从甲组抽取的学生人数为
设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A，
则 
故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，3．
所以随机变量X的分布列为：
．
解析
解：（Ⅰ）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 （3+5）：（2+2）=2：1，
∴从甲组抽取的学生人数为
设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A，
则
故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，3．
所以随机变量X的分布列为：
．
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