二项式定理_章节学习

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题型：填空题

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填空题

甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率分别是和，则面试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ是______．

正确答案

面试结束后通过的人数ξ的可能取值为0，1，2，

P（ξ=0）=（1-）（1-）=，

P（ξ=1）=（1-）•+（1-）•=，

P（ξ=2）=•=，

∴Eξ=0×+1×+2×=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是 0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望Eξ=______．

正确答案

由题意知ξ的可能取值是0，1，2，

P（ξ=0）=0.1×0.1=0.01

P（ξ=1）=0.1×0.9=0.09

P（ξ=2）=0.9，

∴Eξ=1×0.09+2×0.9=1.89

故答案为1.89

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题型：简答题

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简答题

12分)

要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X1的分布列为

同学乙击目标的环数X2的分布列为

(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；

(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？

正确答案

(1) 两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。

(2) 如果其它班的参赛选手的射击成绩都在9环左右就派甲同学去参加，若其它班的参赛选手的成绩都在7环左右，就派同学乙去参加。

（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手

解：（1）EX1＝，EX2＝

=8

DX1=1.50 DX2=0.8

两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。

(2)如果其它班的参赛选手的射击成绩都在9环左右就派甲同学去参加，若其它班的参赛选手的成绩都在7环左右，就派同学乙去参加。

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）一次智力竞赛中，共分三个环节：选答、抢答、风险选答，在第一环节“选答”中．每个选手可以从6道题（其中4道选择题，2道操作题）中任意选3道题作答，答对每道题可得100分；在第二环节“抢答”中，一共为参赛选手准备了5道抢答题．答对一道得1 00分，在每一道题的抢答中，每位选手抢到的概率是相等的；在第三环节“风险选答”中，一共为选手准备了A、B、C 三类不同的题目，选手每答对一道A类、B类、C类的题目将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则相应地要扣除300分、200分、100分．而选手答对一道A类、B类、C类题目的概率分别是0．6、0．7、0．8，现有甲、乙、丙三位选手参加比赛，试求：（1）乙选手在第一环节中，至少选中一道操作题的概率；

（2）甲选手在第二环节中抢到的题数多于乙选手而不多于丙选手的概率；（3）在第三环节中，就每道题而言，丙选手选择哪类题目得分的期望值更大．

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) （Ⅲ）丙应选B类得分的切望值更大

（1）在第一环节中，乙选手从6道题目中任选3道至少有1道操作题的概率（4分）

（2）在第二环节中，甲抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的情况有以下三种：甲、乙、丙三位选手抢到的题目的个数分别为1，0，4；2，0，3；2，1，2，故所求的概率

（8分）

（3）在第三个环节中，就每一次答题而言，丙选手得分是一个随机变量，

若选A类题，其得分的期望是（分）

若选B类题，其得分的期望是（分）

若选C类题，其得分的期望是（分）

由于＞=,故丙应选B类得分的切望值更大。（12分）

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题型：填空题

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填空题

已知某随机变量X的分布列如下（p，q∈R）：

且X的数学期望E(X)=，那么X的方差D（X）=______．

正确答案

∵X的数学期望E(X)=，

∴

∴p=，q=

∴X的方差D（X）=(1-

1

2

)2×+(-1-)2×=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

在个同样型号的产品中，有个是正品，个是次品，从中任取个，求（1）其中所含次品数的期望、方差；（2）事件“含有次品”的概率。

正确答案

(1)E(x)=，D（x）=；（2）P(A)=.

试题分析：（1）依题意可知随机变量ξ的一切可取值为0，1，2，求出相应的概率，可求所含次品数ξ的期望、方差；（2）事件“含有次品”，则随机变量ξ取1，2，从而可求概率．

试题解析：（1）依题意可知随机变量的一切可取值为，则

，

（2）设集合A为抽取的3件产品中含有次品

则.

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题型：简答题

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简答题

为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为.

(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；

(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

正确答案

（1）（2）

(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为3＝；

选手甲答4道题进入决赛的概率为

2··＝.

∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P＝＋＝.

(2)依题意，X的可能取值为3,4,5，则有P(X＝3)＝3＋3＝；P(X＝4)＝2··＋2··＝；P(X＝5)＝2·2＝；

因此，分布列是：

∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

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题型：简答题

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简答题

（本题满分10分）在件产品中，有件一等品，件二等品，件三等品，从这件产品中任取件

求：（1）取出的件产品中一等品的件数的分布列和数学期望

（2）取出的件产品中一等品的件数多余二等品件数的概率

正确答案

（1），所以随机变量的分布列是

的数学期望

（2）取出的件产品中一等品的件数多余二等品件的数

的概率为

解：（1）由于从件产品中任取件的结果为，从件产品中任取件，其中恰有件一等品的结果为，那么从件产品中任取件，其中恰有件一等品的概率为

，所以随机变量的分布列是

的数学期望5分

（2）设“取出的件产品中一等品的件数多余二等品件数”为事件，

“恰好取出件一等品和件三等品”为事件,

“恰好取出件一等品”为事件,

由于事件彼此互斥，且,

而

,

所以取出的件产品中一等品的件数多余二等品件的数

的概率为10分

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题型：简答题

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简答题

某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.

（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的概率分布，并求其平均值；

（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出的概率分布.

计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？

正确答案

（1）900元（2）（3）

（1）设为损失数，概率分布为：

∴E（）="3" 000×0.3=900（元）.

（2）设为损失数，则

P（=0）=0.7×0.8=0.56.

P(=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38.

P（="3" 000）=0.3×0.2=0.06.

概率分布为：按天气预报作防雨处理是正确的选择

∴E()=0+500×0.38+3 000×0.06=370

平均每天损失为370元.

∵370＜900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择.

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题型：填空题

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填空题

袋中有5只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分ξ的数学期望Eξ＝________．

正确答案

ξ可取5、6、7、8，P(ξ＝5)＝，(3黑1红);P(ξ＝6)＝(2黑2红)；

P(ξ＝7)＝(3红1黑)；P(ξ＝8)＝(4红)．∴Eξ＝＝6.5.

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