热门试卷

（1）由an+Sn=n⇒a1+S1=1⇒a1=，又（3分）

∴===，

∴数列{bn}为等比数列，且bn=()n（6分）

（2）an+bn=an+an-an-1=2an-an-1，∴an+bn=1⇒an=1-()n（8分）

∴Sn=n-an=n-1+()n⇒Sn-n+1=()n（10分）

依题意，存在c=-1，使得数列{Sn+cn+1}为等比数列．   （12分）

（1）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得

an+1-an=q（an-an-1），

即bn=qbn-1，n≥2．

又b1=a2-a1=1，q≠0，

所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．

（2）由（1）可得数列{bn}的通项公式bn=qn-1，

∵bn=an+1-an，

∴an-an-1=qn-2，

…

a2-a1=1，

把上述各式相加，得到an-a1=qn-2+qn-3+…+q

∴an=

（1）∵a1=a（a为常数，a∈R），an+1=2n-3an（n∈N*），

∴=-•，又bn=，∴bn+1=-bn．

数列bn的递推公式是．

（2）∵bn+1-c=q（bn-c）（n∈N*）

∴bn+1=qbn+c-qc

又由（1）可知，bn+1=-bn

∴，∴q=-，c=，

∴bn+1-= -(bn-)  ，(n∈N*)

（3）由（2）知，数列{bn-}是首项为b1-公比为-的等比数列．

∴bn-=(b1-)  (-

3

2

)n-1，(n∈N*)

∴an=2nbn=2n[+(-)(-

3

2

)n-1] ，(n∈N*)为所求的通项公式．

考察数列an，∵an=2•3n-1[(

2

3

)n+(-)(-1)n-1]

1O．当a=时，an=•2n，

此时数列an是递增数列．

2O．当a≠时，

(-)  (-1)n-1是正负相间出现，其绝对值是正常数|-|，

而• (

2

3

)n-1=0．

故当n充分大时，an=2•3n-1[(

2

3

)n+(-)(-1)n-1]的值的符号

与(-)(-1)n-1的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，

故数列an不可能是单调数列．

综上所述，当且仅当a∈{}时，数列an是递增数列．

（1）由已知条件，数列{an}是等差数列，首项a1=3，公差d=-1

∴数列{an}的通项公式为：an=4-n，∴bn=24-n…．（3分）

∴=，由定义知数列{bn}是等比数列…..（5分）

（2）Tn=b1b2…bn=2-n2-7n2，------------（7分）

若Tn最大，则f(n)=最大，当n=3或4时，f（3）=f（4）=6最大，------------（10分）

故Tn有最大项，最大值为T3=T4=64------------（12分）

（Ⅰ）由题意知，an=(

1

2

)n，∴Sn==1-(

1

2

)n，

∴bn=t-5log2（1-Sn）=t-5log2(

1

2

)n=5n+t，∴cn=（5n+t）(

1

2

)n，

∴{cn}是递减数列，

∴cn+1-cn=（-5n-t）(

1

2

)n＜0恒成立，即t＞-5n+5恒成立，

∴f（n）=-5n+5是递减函数，∴当n=1时f（n）取最大值0，

∴t＞0，又t∈N*，∴tmin=1．                                   …（6分）

（Ⅱ）记5k+t=x，则ck=（5n+t）（）k=x（）k，且x∈N*，

∴ck+1=（5k+5+t）（）k+1=（x+5）（）k+1，ck+2=（5k+10+t）（）k+2=（x+10）（）k+2，

①若ck是等比中项，则由ck+1•ck+2=ck2得：

（x+5）（）k+1•（x+10）（）k+2=x2（）k+2，化简得：7x2-15x-50=0，显然不成立．

②若ck+1是等比中项，则由ck•ck+2=ck+12得：

x（）k•（x+10）（）k+2=（x+5）2（）2k+2，化简得：x（x+10）=（x+5）2，显然不成立．

③若ck+2是等比中项，则由ck•ck+1=ck+22得：

（x+5）（）k+1•x（）k=（x+10）2（）2k+4，化简得：7x2+20x-100=0，

因为△=202+4×7×100=32×100不是完全平方数，因而x的值是无理数，与x∈N*矛盾．

综上：不存在k和t适合题意．…（12分）

（1）∵a1=2，an+1=2an+3．

∴an+1+3=3（an+3），a1+3=5

∴数列{an+3}是以5为首项，以2为公比的等比数列

∴an+3=5•2n-1

∴an=5•2n-1-3

（2）∵nan=5n•2n-1-3n

令Tn=1•20+2•21+…+n•2n-1

则2Tn=1•2+2•22+…+（n-1）•2n-1+n•2n

两式相减可得，-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=-n•2n=2n-n•2n-1

∴Tn=(n-1)•2n+1

∴Sn=5(n-1)•2n-+5

（本小题满分12分）

（1）在Sn=3n+1中令n=1，则a1=4…..（3分）

（2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+1-（3n-1+1）=2×3n-1，而a1=4…（8分）

所以通项公式为an=…..（10分）

（3）这个数列不是等比数列，因为：a1=4，a2=6，a3=18，与a22=a1a3矛盾．…..（12分）

（l）证明：||=

==||（n≥2）又||= 

∴数列||是以为首项，公比为的等比数列．…（4分）

（2）∵=(xn-1，yn-1) •(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=(xn-12+yn-12)=||2∴cosθn==，∴θn=，∴bn=2nθn-1=-1．

Sn=b1+b2+…+bn=(-1)+ (-1)+…(-1)=(n2+n)-n…（8分）

（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵||=(

2

2

)n-1=22-n2，

∴cn=|an|log2|an|=•22-n2，由cn≤cn+1 得•22-n2≤•21-n2

即（2-n）≤1-n，∴（-1）n≥2-1．

∴n≥=3+，∵n为正整数，∴n≥5．

由cn≤cn-1 得n≤4+，n≤5．，∴n=5

 故存在最小项，最小项为c5=-•2-32…（12分）

（1）当q=1时，bn=1-（a1+a2+…+an）=1-na，cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-=n2+(-1)n+2，

当q≠1时，bn=1-(a1+a2+…+an)=1-cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-(1-)n-(q+q2+…+qn)

=2-(1-)n-(1-qn)

=2--(1-)n+qn

所以bn=，

cn=；（4分）

（2）因为cn=2--(1-)n+qn，

所以cn+1=2--(1-)(n+1)+qn+1cn+1-cn=-(1-)+(qn+1-qn)=-1+(1-qn+1)

当q＞1时，1-q＜0，1-qn+1＜0；

当0＜q＜1时，1-q＞0，1-qn+1＞0，

所以当a＜0，q＞0且q≠1时，cn+1-cn＜0，即cn+1＜cn；（5分）

（3）因为q≠1，q≠0，

所以cn=2--(1-)n+qn，

因为{cn}为等比数列，则或，

所以或（舍去），所以．（5分）

（Ⅰ）由bn=，n∈N*，可得bn=

又因为bn+1an+bnan+1=（-2）n+1，

当n=1时，a1+2a2=-1，由a1=2，可得a2=-；

当n=2时，2a2+a3=5，可得a3=8．

（Ⅱ）证明：对任意n∈N*都有：a2n-1+2a2n=-22n-1+1…①

并且有：2a2n+a2n+1=22n+1…②

②-①，得a2n+1-a2n-1=3×22n-1，即cn=3×22n-1，

于是=4，

所以{cn}是等比数列．

（Ⅰ）因为a1、a3、a4成等比数列，

所以a1•a4=a32，

即a•（a+6）=（a+4）2，∴a=-8，

∴an=-8+（n-1）×2=2n-10，

（II）由2bn=（n+1）an，

bn=n2+n+=（n+）2-（）2，

由题意得：≤-≤，

∴-22≤a≤-18．

（Ⅰ）由2an+1+3Sn=3n+4，得2an+3Sn-1=3n+1（n≥2），

两式相减得2an+1-2an+3（Sn-Sn-1）=3，即2an+1+an=3，（2分）

∴an+1=-an+，则an+1-1=-（an-1），（4分）

由a1=2，又2a2+3S1=7，得a2=，则=-，

故数列{an-1}是以1为首项，-为公比的等比数列．

则an-1=（a1-1）（-）n-1，

∴an=（-）n-1+1，（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=λ[（-）n-1+1]-λ-n2=λ（-）n-1-n2．

由题意得b2n-1＞b2n，则有λ（-）2n-2-（2n-1）2＞λ（-）2n-1-（2n）2，

即λ（-）2n-2[1-（-）]＞（2n-1）2-（2n）2，

∴λ＞-，（10分）

而-对于n∈N*时单调递减，则-的最大值为-=-2，

故λ＞-2．（12分）

（1）当a≠3时，==2

所以{bn}为等比数列．                                                   （4分）

（2）b1=S1-3=a-3，（1分）bn=（a-3）×2n-1．                                 （2分）

所以Sn-3n=（a-3）×2n-1（3分）an=Sn-Sn-1，n≥2，n∈N*an=，；                                （6分）

（3）an+1≥an，，，（2分）

a≥-9（5分）

所以a≥-9，且a≠3．                                                  （6分）