平面直角坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为

（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.

（1）写出圆的直角坐标方程；

（2）求的值.

正确答案

（1）；（2）.

试题分析：（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.

（1）由，得

，，

即，

即圆的直角坐标方程为；

（2）由点的极坐标得点直角坐标为，

将代入消去、，整理得，

设、为方程的两个根，则，

所以.

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度.已知曲线过点的直线的参数方程为（t为参数）. (1)求曲线C与直线的普通方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线，若直线与曲线相切，求实数的值.

正确答案

(1) ， (2)

试题分析：(1)由得，由参数方程为消去参数得：，(2)由得，代入得，与直线联立得消去,得，由△知,,直线与椭圆相切问题，利用判别式为零解决.

试题解析：(1)曲线：,直线：. . (5分)

(2)曲线：,与直线联立得,消去,得

,由△知,,. . (10分)

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为___________.

正确答案

（2,5）

试题分析：由（为参数）得到曲线在直角坐标系的方程为.曲线的极坐标方程为，.所以，故曲线的直角坐标系方程为.由.故与交点在直角坐标系中的坐标为（2，5）.

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线和曲线的交点、，求.

正确答案

（1）曲线的普通方程：;曲线的直角坐标方程为.

（2）

试题分析：（1）由为参数）消去参数得曲线的普通方程

将代入得曲线的直角坐标方程.

（2）由于曲线为直线，曲线为圆，所以求出圆的半径及圆心到直线的距离，再由便可求得.

试题解析：（1）由为参数）消去参数得曲线的普通方程：

将代入得曲线的直角坐标方程为 4分

（2）曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，

所以圆心到直线的距离为

所以 10分

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是 .

正确答案

试题分析：因为，所以，即，因此圆心坐标为.

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题型：填空题

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填空题

已知圆的极坐标方程为，则圆心的直角坐标是　　；半径长为　　．

正确答案

,1

将极坐标方程为ρ=2cosθ，化为一般方程，然后再判断．

解：∵圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，

∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p和θ得，

∴（x-1）2+y2=1，

∴圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1．

故答案为：（1，0），1．

考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，直线的方程为，则点M到直线的距离为．

正确答案

2

试题分析：直线方程为，点M坐标为，即，所以点M到直线的距离为.

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题型：填空题

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填空题

(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的直角坐标方程．

正确答案

（或

略

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为．

(1)已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；

(2)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．

正确答案

（1）点在直线上；（2）

试题分析：（1）因为的极坐标为将极坐标转化为普通方程中对应的点为，所以可知点P在直线上.

（2）求点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.解法一是计算曲线的参数方程中的点到直线的距离，再用最值得到结论.解法二是将曲线的参数方程转化为普通方程，然后利用平行于的直线与曲线C相切，再计算两平行间的距离即可得到结论.

试题解析：（1）把极坐标系下的点化为直角坐标得，

满足方程，点在直线上.

（2）解法一、因为点是曲线上的点，故可设点的坐标为，

所以点到直线的距离

所以当时，取得最小值

解法二、曲线的普通方程为：，

平移直线到使之与曲线相切，设，

由得：，即：

由，解得：，

曲线上的点到距离的最小值.

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题型：简答题

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简答题

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0)，曲线C的极坐标方程为．

（I）求曲线C的直角坐标方程；

（II）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

正确答案

（I）；（II） 4.

试题分析：（I）利用,易得曲线C的直角坐标方程;（II）直线过点，根据直线的参数方程中的几何意义，知道，将直线的参数方程与抛物线方程联立，利用韦达定理转化为关于a的函数式，求最值即可.

试题解析：（I）由，得，所以曲线C的直角坐标方程为;

（II）将直线l的参数方程代入，得，设两点对应的参数分别为，则，，当时，的最小值为.

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