热门试卷

解：连接A1C1、A1B，

∵长方体AC1中，A1A∥C1C且A1A=C1C

∴四边形AA1C1C是平行四边形，得A1C1∥AC

∴∠A1C1B（或其补角）就是直线AC和BC1所成的角

△A1C1B中，A1C1=AC==，同理可得A1B=BC1==

∴cos∠A1C1B==，

由此可得直线AC和BC1所成的角为arccos＞=arccos

设△A1C1B确定的平面为α，直线A1C1是直线m，直线BC1是直线n，

得m、n所成的锐角为arccos，是大于的角

经过m、n的交点O作直线l，当l在α内的射影在m、n所成角的平分线上时，l与m、n所成的角相等．

∵m、n所成的锐角为arccos＞

∴当l在α内的射影在m、n所成钝角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为（-arccos，]，所成角的最小值大于-arccos，

并且无限接近-arccos，而＞-arccos，

所以此种情况有两个位置满足l与m、n所成角等于；

当l在α内的射影在m、n所成锐角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为（arccos，]，

因为arccos＜，所以直线l也有两个位置满足与m、n所成角都等于．

综上所述，经过m、n的交点O，有4条直线l满足与m、n所成角等于，

再将直线l平移至经过点D1，可得经过顶点D1在空间作直线l，

使l与直线AC和BC1所成的角都等于，这样的直线最多可作4条

故选D

解：对于A，因为过m的平面与β交于直线n，则m∥n，又l∥m，则l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，n⊂β，所以α⊥β；故A正确；

对于B，l⊥m，m⊂α，直线l有可能在α内，所以B错误；

对于C，如果直线m，n平行，直线l可能在α内；故C 错误；

对于D，如果直线m，n平行，平面α，β可能相交；故D错误；

故选A．

解：对于A，α∥β与直线l、n的位置关系无关，所以直线l、n的位置关系不确定，A错误；

对于B，由α⊥β，l⊊α，得出l⊥β或l∥β或l⊂β，所以B错误；

对于C，由l⊥α，l∥β，过l作平面γ∩β=a，

所以l∥a，所以a⊥α，从而β⊥α，C正确；

对于D，m⊥n，l⊥n，直线m、l的位置关系是平行或相交或异面，所以D错误．

故选：C．

解：直线与平面的位置关系有3种，线在面内、线与面相交、线与面平行．

故选C

解：若m⊥n，m⊥α，则n与α的关系为，n在α内或n与α平行

又∵n⊄α，∴n∥α，故A为真命题

若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α，故B为真命题

若m∥α，α⊥β，则m与β可能平行也可能相交，故C为假命题

若m⊥n，m⊥α，则n⊄α或n∥α，又由n⊥β，则α⊥β，故D为真命题

故选C

解：A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线，故不正确；

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，而这3个点在同一条直线上，则这两个平面可能平行或相交，故不正确；

C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行或相交，例如：天花板与两个相交平面的位置关系；

D．若一条直线和两个相交平面都平行，则此直线与这两个平面的交线平行正确．证明如下：

已知：α∩β=l，a∥α，a∥β．

求证：a∥l．

证明：过直线分别作平面γ，π满足：γ∩β=b，γ∩π=c．

∵a∥β，∴a∥b．

又∵a∥α，b⊄α，

∴b∥α，

又b⊂β，β∩α=l，

∴b∥l，

∴a∥l．

解：对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是相交、平行、或异面，故A不正确；

对于B，根据线面垂直的性质定理，可得垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；

对于C，平行于同一直线的两个平面的位置关系可能是平行或相交，故C不正确；

对于D，垂直于同一平面的两个平面的位置关系也可能是相交，

例如长方体过同一顶点的三个面，其中两个平面同时垂直于第三个平面，故D不正确．

故选B

解：根据空间点、线、面间的位置关系，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①正确．

过直线上一点有有无数条直线和已知直线垂直，故②不正确．

过平面外一点有无数条直线和已知平面平行，故③不正确． 

过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，故④正确．

故选：C．

解：如图AC、CD′与AD1成60°角

这样的直线有4条，

另外，这样的A′B、A′C′与AD1成60°

直线也有4条，共8条．

故选C．