热门试卷

（1）∵e==，a2=b2+c2，

∴a=2b．

∵原点到直线AB：-=1的距离d==，

解得a=4，b=2．

故所求椭圆C的方程为+=1．

（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为点P1（x1，y1），

∴

解得 x1=，y1=．

∴+=+．

∵点P（x0，y0）在椭圆C：+=1上，

∴+=+=4+．

∵-4≤x0≤4，∴4≤+≤16．

∴+的取值范围为[4，16]．

（3）由题意消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx-12=0．

可知△＞0．

设E（x2，y2），F（x3，y3），EF的中点是M（xM，yM），

则x2+x3=-，

则xM==-，yM=kxM+1=．

∴kBM==-．

∴xM+kyM+2k=0．

即++2k=0．

又∵k≠0，

∴k2=．

∴k=±．

（ I）∵双曲线的焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8

故a=5，b=4

则a2=25，b2=16

故双曲线方程为-=1

（II）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0）

由椭圆经过两点P1(，1)，P2(-，-)两点

则

解得

故椭圆方程为+=1

（I）∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，

∴M到y轴的距离d=

又圆M与x轴相切，∴当x=c时，得y2=，∴r=．

∴=2，c=∵a2-b2=c2，

∴a2-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），则b2=2a=6．

故所求椭圆方程为+=1．

（II）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得=．

∵恒有|OC|2+|OD|2＜|CD|2，∴2(1+)＜4，＞1，即＞1．

解得a＞或a＜（舍去），即a＞．

②当l不垂直x轴时，设C（x1，y1），D（x2，y2），

直线AB的方程为y=k(x-1)，代入+=1

得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0，

则x1+x2=，x1x2=

∵恒有|OC|2+|OD|2＜|CD|2，∴x12+y12+x22+y22＜（x2-x1）2+（y2-y1）2，|OC|2+|OD|2＜|CD|2恒成立，得x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2=，

由题意得，（a2-a2b2+b2）k2-a2b2＜0对k∈R恒成立．

当a2-a2b2+b2＞0对k∈R不是恒成立的．

当a2-a2b2+b2=0时，a=，恒成立．

当a2-a2b2+b2＜0时恒成立，∴a2＜a2b-b2，即a2＜（a2-1）b2=b4，

∵a＞0，b＞0，

∴a＜b2，即a＜a2-1，

∴a2-a-1＞0，解得a＞或a＜，即a＞．

综上，a的取值范围是[，+∞)

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由椭圆短轴长为4得2b=4，解得b=2，

由离心率为，得=，即a2=5c2=5（a2-4），解得a2=5，

所以椭圆的标准方程为+=1；

（2）由得9x2+10x-15=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，

所以|MN|=•|x1-x2|=•=•=；

（1）设F1（-c，0），F2（c，0），则

由•=-2得b2-c2=-2

∵e==

∴a2=4，b2=1，c2=3

∴椭圆方程为+y2=1；

（2）设直线l的方程为x=my-

∵倾斜角α∈[，]，

∴m∈[-，]

则P1（x1，y1），P2（x2，y2）的坐标轴满足方程组

∴（m2+4）y2-2my-1=0

∴y1+y2=，y1y2=-

∴x1x2=4×

由P1（x1，y1），P2（x2，y2），得直线OP1、OP2的方程为y=x、y=x

∴点S、T的坐标为S（-，-），T（-，-）

∴|ST|=|-|=

令=t

∵m∈[-，]

∴t∈[1，]

∴|ST|=∈[，]．

（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（，1），

∴e==⇔==①，+=1②，

由①②解得a2=8，b2=4，

∴该椭圆的标准方程为：+=1；

（2）∵椭圆+=1的左焦点F1（-2，0）；

设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0

由方程组得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=

由弦长公式得|AB|=•=，

同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=•=，，

由（1）k1•k2=-1得k2=-，代入得|CD|=，

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，

∴λ==+==，则存在λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

（1）由题图得c=，将c=代入=得a=2，

所以b2=a2-c2=22-()2=1；所以椭圆C的方程为+y2=1

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y=kx-2，联立得，

得（1+4k2）x2-16kx+12=0，因为x1+x2=，x1x2=

所以=+=(x1，y1)+(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)=(，-)

从而有()2+()2=4，所以16k4-56k2-15=0，所以k=±

所以直线l的方程为y=±x-2

（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

由已知得 2a=2，=，

∴a=，c=1，

又a2=b2+c2，∴b2=2．

∴椭圆C的标准方程为+=1．

（2）证明：由椭圆方程得A1(-，0)，A2(，0)，设M点坐标（x0，y0），

则+=1⇒y02=(3-x02)，

∵kMA1=，kMA2=，

∴kMA1•kMA2===-．

∴kMA1•kMA2是定值-．

（1）由A（，）和P（3，4）得直线PF1的方程为：y=x+1…（1分）

令x=0，得y=1，即c=1                                          …（2分）

椭圆E的焦点为F1（0，1）、F2（0，-1），

由椭圆的定义可知2a=|AF1|+|AF2|=+=2…（4分）

∴a=，b=1…（5分）

椭圆E的方程为+x2=1…（6分）

（2）设与直线PF1平行的直线l：y=x+m…（7分），

由，消去y得3x2+2mx+m2-2=0…（8分）

△=（2m）2-4×3×（m2-2）=0，

即m2=3，m=±…（9分）

要使点C到直线PF1的距离最远，

则直线L要在直线PF1的下方，所以m=-…（10分）

此时直线l与椭圆E的切点坐标为(，-)，

故C(，-)为所求．   …（12分）

（I）设点M（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由=4，

可得：x=xo，y=y0，

P（x0，y0）在圆x2+y2=25上，所以，x02+y02=25，

将xo=x，y0=，y代入方程①，得+=1，

故点M的轨迹C的方程为+=1，

（II）设A（x1，y1），B （x2，y2），由已知得直线方程：y=x-3

，

将（2）代入整理得41x2-150x-175=0

由伟达定理：x1+x2=，x1x1=-．

所以：|AB|===，

故弦AB的长度为．

（1）因为椭圆的离心率e=，一条准线方程为x=．

所以=，=，a2=b2+c2，…（2分）

解得a=3，b=，

所以椭圆方程为+=1． …（4分）

（2）①由，解得，…（6分）

由得，…（8分）

所以OG=，OH=，所以=．…（10分）

②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH

因为OG2+OH2=GH2，故+=，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得xG2=，yG2=

∴OG2=

同理可得OH2=

∴+==，∴R=

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得+==

故满足条件的定圆方程为x2+y2=．

（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：+=1（6分）

（2）设双曲线方程为：x2-4y2=λ，（9分）

∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22-4×22=-12，

故双曲线方程为：-=1．（12分）

（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）

∵椭圆C的右焦点F是圆（x-1）2+y2=1的圆心F（1，0），

∴c=1，结合离心率e==，得a=

因此，b2=a2-c2=，得椭圆C的方程为+=1；

（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），

可得直线PM的方程：y-m=x，

化简得（y0-m）x-x0y+x0m=0．

又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，

∴=1，

平方化简得（y0-m）2+x02=（y0-m）2+2x0m（y0-m）+x02m2，

整理可得（x0-2）m2+2y0m-x0=0，同理可得（x0-2）n2+2y0n-x0=0．

因此，m、n是方程（x0-2）t2+2y0t-x0=0的两个不相等的实数根

∴m+n=，mn=，

∴|MN|=|m-n|==．

∵P（x0，y0）是椭圆+=1上的点，

∴+=1，可得y02=(1-)=-x02

因此，|MN|==，

记F（x0）=，得F'（x）=

∵椭圆上动点P位于y轴左侧，可得x0∈[-，0），而-≤x0＜0时F'（x）=＜0

∴F（x0）是上的减函数，可得F（x0）的最大值为F（-）=，此时|MN|=

因此线段MN的长的最大值为，出此时点P的坐标为（-，0）．

设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），

由题意得，，即，解得m=，n=1，

所以椭圆的标准方程是：+y2=1．

联立方程组，消去y得，10x2+36x+27=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0），

则x1+x2=-，x0==-，

所以y0=x0+2=．

故线段AB中点坐标为（-，）．