热门试卷

（I）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，

因为椭圆与双曲线有相同焦点，

所以c=，再由e==可得a=2，∴b2=a2-c2=2，

故所求方程为+=1；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由=2，得，

设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，

解得x=，

若x1=，x2=，

则-=2•，

解得k2=，

又△AOB的面积S=S△OAP+S△OBP=|OP|•|x1-x2|=×=•=，

故所求△AOB的面积是．

设所求椭圆方程为+=1.

依题意知，点P、Q的坐标满足方程组

①②

将②式代入①式，整理得

（a2+b2）x2+2a2x+a2（1-b2）=0，③

设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．

由题设OP⊥OQ，|PQ|=，可得

整理得

④⑤

解这个方程组，得或

根据根与系数的关系，由③式得

（Ⅰ）或（Ⅱ）

解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或

故所求椭圆的方程为+=1，或+=1.

（1）由y=8-x2=0可得x=±2

∴椭圆的焦点坐标为（±2，0），即c=2

∵b，e，为等比数列，

∴()2=b

∵a2=b2+c2

∴a=2，b=2

∴椭圆C1的方程为+=1；

（2）假设存在A，B满足=，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx

由（1）知，C2的方程为-=1

直线与椭圆方程联立，可得（1+3k2）x2=12，即x12=

直线方程与双曲线方程联立，可得（1-2k2）x2=8，即x22=

∵=，∴x12=x22

∴=

∴k2=

∴k=±

∴存在A，B满足=，此时直线AB的方程为y=±x．

由已知得c=2

可设椭圆方程为+=1①…（2分）

将(-2，  -)代入①式中，得a2=2或a2=8…（4分）

∴所求的椭圆方程为+=1…（6分）

（1）因为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A(0，)，所以b=，b2=2，

又因为椭圆C1的离心率e=，所以e2===，解得a2=3．

所以椭圆C1的方程是+=1；

（2）因为线段PF2的垂直平分线交l2于点M，

所以|MP|=|MF2|，即动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，

所以动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，

所以点M的轨迹C2的方程为y2=4x；

（3）设R（x1，y1），假设存在直线m：x=t满足题意，则圆心O1(，)，

过O1作直线x=t的垂线，垂足为E，设直线m与圆O1的一个交点为G．

可得：|EG|2=|O1G|2-|O1E|2=|O1Q|2-|O1E|2，

即|EG|2=|O1Q|2-|O1E|2=-(-t)2

=++t(x1+4)-t2

=x1-4x1+t(x1+4)-t2=(t-3)x1+4t-t2，

当t=3时，|EG|2=3，此时直线m被以RQ为直径的圆O1所截得的弦长恒为定值2．

因此存在直线m：x=3满足题意．

（1）依题意，设椭圆方程为+=1 ( a＞b＞0 )，

则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=，由|FB|=2，

得=2，即(c-)2+2=4，故c=2．

又∵b=2，∴a2=12，

从而可得椭圆方程为+=1．--（6分）

（2）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，

由消去y得x2+3（kx-3）2=12，即可得方程（1+3k2）x2-18kx+15=0…（*）

当方程（*）的△=（-18k）2-4（1+3k2）×15=144k2-60＞0

即k2＞时方程（*）有两个不相等的实数根．

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），

则x1，x2是方程（*）的两个不等的实根，故有x1+x2=．

从而有  x0==，y0=kx0-3==．

于是，可得线段MN的中点P的坐标为P ( ， )

又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1==，

由AP⊥MN，得×k=-1，即5+6k2=9，解得k2=＞，

∴k=±，

∴综上可知存在直线l：y=±x-3满足题意．--------（13分）

（I）直线l0的方程为+=1，

即bx-2y=-2b，又B1（0，-b），

∴=，解得b=1，

又==，得a2=1． ①

所以，椭圆方程为+y2=1．（4分）

（Ⅱ）设C（x1，y1），D（x2，y2），M（x0，y0），

由题意直线CD的斜率存在，设为k，

则

②-①得+(y2+y1)•=0

∴k=-（7分）

∴线段CD的中垂线方程为：y-y0=(x-x0)

令y=0，则n=x0．（9分）

又联立l0与椭圆方程，有7x2+12x=0，

得x=0、-，

即有-＜x0＜0，（11分）

∴-＜n＜0（12分）

（Ⅰ）由抛物线y2=-4x的焦点为F1（-1，0）可知c=1，

∵2a=4∴a=2，∴b2=a2-c2=3

所以椭圆C的方程为：+=1 …（4分）

（Ⅱ）因为过点F1（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，

可设直线l方程为：x=my-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），则

，得（4+3m2）y2-6my-9=0，∴

所以S △F1PQ=|F1F2||y1-y2|=，

令=t，则t≥1，所以S △F1PQ=

而3t+在[1，+∞）上单调递增，

所以S △F1PQ=≤3，当t=1时取等号，

即当m=0时，△F2PQ的面积最大值为3…（8分）

（Ⅰ）如图，以AB所在直线为x轴，

AB中垂线为y轴建立直角坐标系，⇒A（-1，0），B（1，0）．

设椭圆方程为+=1．

令x=c⇒y0=，

∴⇒．

∴椭圆C的方程是：+=1；

（Ⅱ）=⇒E(0，)，l⊥AB时不符；

设l：y=kx+m（k≠0），

由⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0．

M、N存在⇒△＞0⇒64k2m2-4（3+4k2）•（4m2-12）＞0⇒4k2+3≥m2．

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点F（x0，y0）

∴x0==-，

y0=kx0+m=．

|ME|=|NE|⇒MN⊥EF⇒=-⇒=-⇒m=-，

∴4k2+3≥(-)2，∴4k2+3≤4，

∴0＜k2≤1，∴-1≤k≤1且k≠0．

∴l与AB的夹角的范围是（0，]．

（Ⅰ）由题意，||=2c=2，∴A（a2，0），

∵=2∴F2为AF1的中点

∴a2=3，b2=2

即椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=2=，

此时|MN|=2a=2，四边形DMEN的面积为=4．

同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为=4．

当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．

设D（x1，y1），E（x2，y2），则

所以，|x1-x2|==，

所以，|DE|=|x1-x2|=，

同理，|MN|==．

所以，四边形的面积S==••=，

令u=k2+，得S==4-

因为u=k2+≥2，

当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，

所以≤S＜4．

综上可知，≤S≤4．即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．

（I）由题意得，解得，

所以椭圆C的标准方程为+=1；

（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），则点M、N的坐标是方程组的两组解，

消掉x得，（3m2+4）y2+6my-9=0，所以，

所以S△F1MN=|F1F2||y1-y2|=

===≤=3（当且仅当m=0时取等号），

所以当m=0时，S△ABC取最大值，此时直线l的方程为x=1．

（I）根据题意，，解得．

∴椭圆方程为+y2=1．

（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0，解得k2＞1．（*）

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，（**）

若以CD为直径的圆过E点，则•=0，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，代入上式得

(x1+1)(x2+1)+k2x1x2+2k(x1+x2)+4=0，

化为（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0．

把（**）代入上式得-+5=0

解得k=，满足k2＞1．

所以存在k=使得以线段CD为直径的圆过E点．

（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）．

因为椭圆过点P（-3，），Q（2，），

所以，解得．

所以椭圆方程为+=1；

（2）由椭圆方程为+=1，

可知A（0，4）在椭圆外部，

椭圆的参数方程，

因为B为椭圆上的任一点，设B（4cosθ，2sinθ），

所以|AB|=

=

=

=

=．

所以当sinθ=-时，|AB|的最大值为．

此时cosθ=-．

则B（-，-）．

（Ⅰ）由已知 c=1，=，

∴a=2，b=，

∴椭圆方程为+=1．--------------（5分）

证明：（Ⅱ） 设直线l方程为 y=k（x+1），

由  得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=．-----（7分）

设M（-4，yM），N（-4，yN），则由A，P，M共线，得=，有 yM=-．同理 yN=-．

∴yMyN==．------（9分）

∴⊥，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F；----（12分）

当直线l的斜率不存在时，不妨设M（-4，3），N（-4，-3）．则有•=(-3，3)•(-3，-3）=9-9=0，

∴⊥，即FM⊥FN，以线段MN为直径的圆经过点F．

综上所述，以线段MN为直径的圆经过定点F．-----------（14分）