热门试卷

证明：（I）∵直线l为⊙O的切线，∴∠1=∠ACB．

∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．

∴∠ACB=∠DAB，

又∵∠ABC=∠DBA，

∴△ABC∽△DAB．

∴=．

∴AB2=BD•BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．

∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，

∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°．

∴点A、B、D、F共圆．

（1）∵∠BFE=∠BCD=90°，∠FEB=∠DEC

∴△BFE∽△DCF

∵S△BEF=4S△CDE，

∴S△BEF：S△DEC=4：1

∴EF：EC=2：1

∵CE=5，∴EF=10，

∵sinB=，∴BE=，∴BC=

设AC=5k，则AB=7k

∵AB2-AC2=BC2，

∴49k2-25k2=（ ）2

解得k=（负值舍去）

∴AC=5×=；

（2）∵sinB=，BE=，EF=10；

∴BF=4

S△BFE=BF×EF÷2=20

∵BE：EC=：5

∴S△CEF=．

证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，

∵∠AEF=∠AKB，

∴△AEF～△AKB，因此=，=．

于是要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）

又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．

我们有S△DCK=CD•BK•sin∠C

进一步有

因此要证（2），只需证明S△ABD=S△DCK+S△ADK（3）

而（3）⇔S△ABC=S△AKC⇔BK∥AC（4）

事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得证．