三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（sinx，-1），=（cosx，-），函数f（x）=（+）•-2．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T：

（Ⅱ）若x∈[，]，试求f（x）的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）由题意可得，函数f（x）=（+）•-2=

a

2+•-2=1+sin2x+sinxcosx+-2

=sin2x+-=sin（2x-），

故函数f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）若x∈[，]，≤2x-≤，故当2x-= 时，f（x）取得最小值为-1，

当2x-=时，f（x）取得最大值为1，

故函数f（x）的取值范围是[-1，1]．

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题型：简答题

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简答题

已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为（x4，0）．若1＜x4＜2，求tanθ的取值范围．

正确答案

设P1B=x，

∠P1P0B=θ，则CP1=1-x，

∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，∴tanθ==x．

又tanθ===x，

∴CP2==-1．

而tanθ====x，

∴DP3=x（3-）=3x-1．

又tanθ====x，

∴AP4==-3．

依题设1＜AP4＜2，即1＜-3＜2，

∴4＜＜5，＞＞．

∴＞tanθ＞．

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题型：填空题

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填空题

函数y=+的定义域是_______．

正确答案

要使函数有意义，需

解得：（k∈Z）

即2kπ+≤x≤2kπ+π （k∈Z）

故答案为 [2kπ+，2kπ+π] (k∈Z）

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题型：简答题

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简答题

已知函数y=sin2x-cos2x，

（1）将函数化成正弦型函数的形式；

（2）指出函数的周期；

（3）指出当x取何值时，函数取最大值，最大值为多少？

正确答案

（1）函数y=sin2x-cos2x

=2（sin2x-cos2x）

=2（sin2x•cos-cos2x•sin）

=2sin（2x-）

（2）∵ω=2

∴T==π

（3）当2x-=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z时，函数取最大值2

当2x-=-+2kπ，即x=-+kπ，k∈Z时，函数取最小值-2

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题型：填空题

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填空题

函数y=++的值域是______．

正确答案

由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，

当角x在第一象限时，y=1+1+1=3，

当角在第二象限时，y=1-1-1=-1，

当角在第三象限时，y=-1-1+1=-1，

当角在第四象限时，y=-1+1-1=-1．

故答案为：-1，3

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（2cosx，2sinx），=(cosx，-cosx)，函数f（x）=•，g(x)=f(x+)+ax（a为常数）．

（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；

（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；

（3）已知对任意实数x1，x2，都有|cosx1-cosx2|≤|x1-x2|成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当a＞时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

正确答案

（1）∵向量=（2cosx，2sinx），=(cosx，-cosx)，

又∵f（x）=•，

∴f(x)=2cos2x-2sinxcosx

=2cos(2x+)+1．　　　　　　　　　　　…（4分）

由2x+=kπ(k∈Z)，得x=-(k∈Z)，

即函数f（x）的对称轴方程为x=-(k∈Z)．…（6分）

（2）由（1）知g(x)=2cos(x+π)+ax+1=-2cosx+ax+1

∵函数g（x）的图象关于y轴对称，

∴函数g（x）是偶函数，即a=0．

故g(x)=-2cosx+1…（8分）

又函数g（x）的周期为6，

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．

∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010． …（11分）

（3）∵已知对任意实数x1，x2，都有|cosx1-cosx2|≤|x1-x2|成立

∴对于任意x1，x2且x1＜x2，由已知得(x1-x2)≤cosx1-cosx2≤(x2-x1)．

∴g(x1)-g(x2)=2cosx1+ax1+1-2cosx2-ax2-1=2(cosx1-cosx2)+a(x1-x2)＜(x2-x1)+a(x1-x2)=(a-)(x1-x2)

∵a＞，

∴(a-)(x1-x2)＜0

即当x1＜x2时，恒有g（x1）＜g（x2）．

所以当a＞时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（16分）

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题型：填空题

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填空题

设f（x）是定义域为R，且最小正周期为π的函数，并且f(x)=，则f(-π)=______．

正确答案

由题意函数的周期为可得f(-)=f(-π)=cos(-)=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知f(x)=sin(+α)，且f（2009）=1，则f（2010）=______．

正确答案

由f（2009）=sin(+α)=1，得sin(1004π++α)=1，

∴cosα=1，f（2010）=sin（1005π+α）=sin（π+α）=-sinα=0．

故答案为：0

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题型：填空题

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填空题

给出下列函数：

①f（x）=sin（-2x）；

②f（x）=sinx+cosx；

③f（x）=sinxcosx；

④f（x）=sin2x；

⑤f（x）=|cos2x|

其中，以π为最小正周期且为偶函数的是______．

正确答案

①f（x）=sin（-2x）=cos2x，其周期T==π，满足f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x）是偶函数，故①符合；

②f（x）=sinx+cosx=sin（x+），其周期T=2π≠π，故②不满足题意；

③f（x）=sinxcosx=sin2x，f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-sin2x=-f（x），是奇函数，故③不满足题意；

④f（x）=sin2x=，是以π为最小正周期的偶函数，故④符合题意；

⑤f（x）=|cos2x|是偶函数，但其周期为，故⑤不满足题意；

综上所述，以π为最小正周期且为偶函数的是①④．

故答案为：①④．

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（cosx-3，sinx），=（cosx，sinx-3），f（x）=•

（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；

（2）若x∈[-π，0]，求函数f（x）的单调增区间；π

（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）∵向量=（cosx-3，sinx），=（cosx，sinx-3），

∴f（x）=•=cos2x-3cosx+sin2x-3sinx=-3sin（x+）+1

则函数f（x）的最小正周期T=2π，

函数f（x）的最大值为3+1，最小值为-3+1，

（2）∵x∈[-π，0]，

∴x+∈[-，]

则函数f（x）的单调增区间为[-，-]

（3）当x∈[，]时，x+∈[，]

f（x）∈[-3+1，-2]

若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[，]上恒成立

则m-1＜-3+1，且m+1＞-2

∴-3＜m＜-3+2

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=2sin2(-x)-cos2x，

（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；

（2）若f（x）＜m+2在[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）f(x)=2sin2(-x)-cos2x

=1-cos（-2x）-cos2x

=1-sin2x-cos2x

=1-2sin（2x+），

故最小正周期T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），

所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）．

（2）x∈[0，]，则2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[，1]，

则f（x）∈[-1，1-]，即f（x）在[0，]上的值域为[-1，1-]．

因为f（x）＜m+2在[0，]上恒成立，所以m+2＞1-，

解得m＞-1-．

所以实数m的取值范围为（-1-，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=coscos-sinsin．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）当x∈[，π]，求函数f（x）的零点．

正确答案

（Ⅰ）f（x）=coscos-sinsin=cos（+）=cos2x，（4分）

∵ω=2，∴T==π，

则函数f（x）的最小正周期为π；（5分）

（Ⅱ）令f（x）=0，即cos2x=0，

又∵x∈[，π]，（7分）

∴2x∈[π，2π]，（9分）

∴2x=，即x=，

则x=是函数f（x）的零点．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=2sin2(+x)-cos2x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若不等式f（x）-m＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵f(x)=[1-cos(+2x)]-cos2x=1+sin2x-cos2x=1+2sin(2x-)．

∴f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）又∵x∈[，]，∴≤2x-≤，即2≤1+2sin(2x-)≤3，

∴f（x）max=3．

∵不等式f（x）-m＜2在x∈[，]上恒成立∴m＞f（x）max-2=1即m的取值范围是（1，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x，x∈R．

（I）求f（x）的最小正周期和值域；

（II）若x0(0≤x0≤)为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．

正确答案

（I）由题意得，f(x)=+sin2x-cos2x

=sin2x-cos2x+=2sin(2x-)+，

∴f（x）的最小正周期为π，且最大值为2+=，最小值为-2+=-，

，则f（x）的值域为[-， ]，

（II）由f(x0)=2sin(2x0-)+=0得，

sin(2x0-)=-＜0，

又由0≤x0≤得，-≤2x0-≤，

∴-≤2x0-≤0，

∴cos(2x0-)==，

sin2x0=sin[(2x0-)+]=sin(2x0-)cos+cos(2x0-)sin

=-×+×=．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R，a为常数），且是函数y=f（x）的零点．

（1）求a的值，并求函数f（x）的最小正周期；

（2）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域，并写出f（x）取得最大值时x的值．

正确答案

（1）由于是函数y=f（x）的零点，即x=是方程f（x）=0的解，

从而f（）=sin+acos2=0，

则1+a=0，解得a=-2．

所以f（x）=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1，

则f（x）=sin（2x-）-1，

所以函数f（x）的最小正周期为π．

（2）由x∈[0，]，得2x-∈[-，]，

则sin（2x-）∈[-，1]，

则-1≤sin（2x-）≤，

-2≤sin（2x-）-1≤-1，

∴值域为[-2，-1]．

当2x-=2kπ+（k∈Z），

即x=kπ+π时，

f（x）有最大值，又x∈[0，]，

故k=0时，x=π，

f（x）有最大值-1．

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