热门试卷

（1）∵g(x)+g(x+2)=sin+sin(+)=2sin(x+1)cos

=sin(x+1)=g(x+1)∴g（x）∈M…（6分）

（2）因g（x）是周期为6的周期函数，猜测f（x）也是周期为6的周期函数

由f（x）+f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），

∴f（x）+f（x+2）+f（x+1）+f（x+3）=f（x+1）+f（x+2）

∴f（x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（x），

∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），得证f（x）是周期为6的周期函数，

故M中的元素都是周期为6的周期函数．…（12分）

（3）令h(x)=cos，可证得h（x）+h（x+2）=h（x+1）…（16分）

∴h（x）∈M，但h（x）是偶函数，不是奇函数，

∴M中的元素不都是奇函数．…（18分）

∵g()=cosπ=，

g()=g(-1)+1=g(-)+1=cos(-)+1=+1

f()=f(-1)+1=f(-)+1=sin(-π)+1=-+1，

f()=f(-1)+1=f(-)+1=sin(-)+1=-+1

故：g()+f()+g()+f()=++1-+1-+1=3

（1）令x=，得a+4+9=13-9，得a=-9．

（2）

所以，f（x）的最小正周期为π．

（3）不存在n满足题意．  当x∈[0，]时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9．

设t=sinx+cosx=sin(x+)，t∈[1，]，则sin2x=2sinxcosx=t2-1，

于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t2-9t+5，令4t2-9t+5=0，得t=1或t=∈[1，]，

于是x=0，，或x=x0(0＜x0＜)或x=-x0，其中sin(x0+)=，

当x∈(，π)时，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9．

设t=sinx-cosx=sin(x-)，t∈(1，]，则sin2x=2sinxcosx=1-t2，

于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t2-9t+13，令-4t2-9t+13=0，

解得t=1或t=-∉(1，]，故f（x）在x∈(，π)没有实根．

综上讨论可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根，

故不存在n，使得f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．

（I）∵=(sinx，-1)，=(cosx，)，

∴+=（sinx+cosx，-），可得

f(x)=(+)•=sinx（sinx+cosx）+=sin2x+sinxcosx+

∵sin2x=（1-cos2x），sinxcosx=sin2x

∴f（x）=（1-cos2x）+sin2x+=sin（2x-）+1

因此，f（x）的最小正周期T==π；

（II）∵x∈[，]，可得2x-∈[，]

∴sin（2x-）∈[，1]，得f（x）=sin（2x-）+1的值域为[，2]

∵方程f（x）-t=0在x∈[，]上有解，

∴f（x）=t在x∈[，]上有解，可得实数t的取值范围为[，2]．

（1）函数f（x）=•（+）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）

=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin(2x+)+．

所以函数的最小正周期为：π．

（2）因为函数 y=sin(2x+)+，由 2kπ-≤2x+≤+2kπ   k∈Z，即 kπ-≤x≤+kπ   k∈Z，

所以函数的单调增区间为：[-π+kπ，+kπ] (k∈Z)．

（3）y=sin(2x+)+，x∈[0，]，所以2x+∈[，]，

y=sin(2x+)+∈[，+]，

函数g（x）=f（x）-k=sin(2x+)+-k，x∈[0，]，其中k∈R，

当k＜或k＞+时，零点为0个；

当k∈[，+)时函数有两个零点，

当k=+时，函数有一个零点；

（1）要使f（x）有意义，需满足cos（2x-）＞0，…（2分）

∴2kπ-＜2x-＜2kπ+，∴kπ-＜x＜kπ+．k∈z …（5分）

∴f（x）的定义域为{x|kπ-＜x＜kπ+，k∈Z}．…（6分）

（2）当a＞1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-）＞0时的增区间．

由 2kπ-＜2x-＜2kπ+0，k∈z，可得 kπ-＜x＜kπ+，k∈z，

故单调增区间是 （kπ-，kπ+ ），k∈z．

由 2kπ＜2x-＜2kπ+，k∈z，可得 kπ+＜x＜kπ+，k∈z，

故单调减区间是（kπ+，kπ+） （k∈Z）． …（9分）

当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-）＞0时的减区间，

f（x）的单调减区间就是cos（2x-）＞0时的增区间．

故f（x）的单调增区间是 （kπ+，kπ+） （k∈Z）． 

故f（x）单调减区间是 （kπ-，kπ+ ），k∈z．…（12分）

（3）f（x）是周期函数，最小正周期是 =π．…（14分）

（1）∵f′（x）=cosx-sinx，

∴g（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）2=cos2x+sin2x+1=sin(2x+)+1．

∴T==π．

当2x+=+2kπ，即x=kπ+（k∈Z）时，sin(2x+)取得最大值1，

此时，函数g（x）取得最大值+1．

（2）由-+2kπ≤2x+≤+2kπ 解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，

∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．

代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2

易得

F(x)=cos2x+sin2x+1=sin(2x+)+1

当2x+=2kπ+⇒x=kπ+(k∈Z)时，[F(x)]max=+1

最小正周期为T==π

（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．

解得tanx=

∴===；

答：（1）函数F（x）的最大值为+1，最小正周期为π；

（2）的值为．

解：（1）求导函数可得，

令f′（x）=0，可得

令f′（x）＞0，可得；

令f′（x）＜0，可得

∴时，f（x）取得极小值

∴xn=

（2）Sn=x1+x2+…+xn=2π（1+2+…+n）﹣=n（n+1）π﹣

∴当n=3k（k∈N+）时，sinSn=sin（﹣2kπ）=0；

当n=3k-1（k∈N+）时，sinSn=sin=；

当n=3k-2（k∈N+）时，sinSn=sin=-。

==，

当α为第二象限角，且sinα=时，sinα+cosα≠0，cosα=-，

所以==-．