椭圆的标准方程及图象
共1400题

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椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

设椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，长轴的长等于2，离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，点M是椭圆上异于A1，A2的任意一点，设直线MA1，MA2的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1•kMA2为定值．

正确答案

（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

由已知得 2a=2，=，

∴a=，c=1，

又a2=b2+c2，∴b2=2．

∴椭圆C的标准方程为+=1．

（2）证明：由椭圆方程得A1(-，0)，A2(，0)，设M点坐标（x0，y0），

则+=1⇒y02=(3-x02)，

∵kMA1=，kMA2=，

∴kMA1•kMA2===-．

∴kMA1•kMA2是定值-．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率e=，一条准线方程为x=．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．

①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；

②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）因为椭圆的离心率e=，一条准线方程为x=．

所以=，=，a2=b2+c2，…（2分）

解得a=3，b=，

所以椭圆方程为+=1． …（4分）

（2）①由，解得，…（6分）

由得，…（8分）

所以OG=，OH=，所以=．…（10分）

②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH

因为OG2+OH2=GH2，故+=，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得xG2=，yG2=

∴OG2=

同理可得OH2=

∴+==，∴R=

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得+==

故满足条件的定圆方程为x2+y2=．

题型：简答题

简答题

（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．

正确答案

（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：+=1（6分）

（2）设双曲线方程为：x2-4y2=λ，（9分）

∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22-4×22=-12，

故双曲线方程为：-=1．（12分）

题型：简答题

简答题

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为5，从这个圆上任一点p向x轴作垂线PP’，垂足为P’，M为线段PP’上一点，且满足：=4

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）若过电（3，0）且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点，求弦AB的长．

正确答案

（I）设点M（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由=4，

可得：x=xo，y=y0，

P（x0，y0）在圆x2+y2=25上，所以，x02+y02=25，

将xo=x，y0=，y代入方程①，得+=1，

故点M的轨迹C的方程为+=1，

（II）设A（x1，y1），B （x2，y2），由已知得直线方程：y=x-3

，

将（2）代入整理得41x2-150x-175=0

由伟达定理：x1+x2=，x1x1=-．

所以：|AB|===，

故弦AB的长度为．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的对称轴在坐标轴上，且过点(2，-)，(，)．设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

正确答案

设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），

由题意得，，即，解得m=，n=1，

所以椭圆的标准方程是：+y2=1．

联立方程组，消去y得，10x2+36x+27=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB线段的中点为M（x0，y0），

则x1+x2=-，x0==-，

所以y0=x0+2=．

故线段AB中点坐标为（-，）．

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