热门试卷

（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）

∵椭圆C的右焦点F是圆（x-1）2+y2=1的圆心F（1，0），

∴c=1，结合离心率e==，得a=

因此，b2=a2-c2=，得椭圆C的方程为+=1；

（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），

可得直线PM的方程：y-m=x，

化简得（y0-m）x-x0y+x0m=0．

又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，

∴=1，

平方化简得（y0-m）2+x02=（y0-m）2+2x0m（y0-m）+x02m2，

整理可得（x0-2）m2+2y0m-x0=0，同理可得（x0-2）n2+2y0n-x0=0．

因此，m、n是方程（x0-2）t2+2y0t-x0=0的两个不相等的实数根

∴m+n=，mn=，

∴|MN|=|m-n|==．

∵P（x0，y0）是椭圆+=1上的点，

∴+=1，可得y02=(1-)=-x02

因此，|MN|==，

记F（x0）=，得F'（x）=

∵椭圆上动点P位于y轴左侧，可得x0∈[-，0），而-≤x0＜0时F'（x）=＜0

∴F（x0）是上的减函数，可得F（x0）的最大值为F（-）=，此时|MN|=

因此线段MN的长的最大值为，出此时点P的坐标为（-，0）．

（I）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，

因为椭圆与双曲线有相同焦点，

所以c=，再由e==可得a=2，∴b2=a2-c2=2，

故所求方程为+=1；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由=2，得，

设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，

解得x=，

若x1=，x2=，

则-=2•，

解得k2=，

又△AOB的面积S=S△OAP+S△OBP=|OP|•|x1-x2|=×=•=，

故所求△AOB的面积是．

（1）由于点(，)在椭圆上，+=1

2a=4，

椭圆C的方程为+=1

焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）

（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）

把K的坐标代入椭圆+=1中得+=1

线段KF1的中点B的轨迹方程为(x+)2+=1

（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称

设M（x0，y0）N（-x0，-y0），p（x，y）

M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，

得+=1，+=1

kPM=，KPN=

kPM•KPN=•==-

kPM•KPN的值与点P及直线L无关

（1）依题意，设椭圆方程为+=1 ( a＞b＞0 )，

则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=，由|FB|=2，

得=2，即(c-)2+2=4，故c=2．

又∵b=2，∴a2=12，

从而可得椭圆方程为+=1．--（6分）

（2）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，

由消去y得x2+3（kx-3）2=12，即可得方程（1+3k2）x2-18kx+15=0…（*）

当方程（*）的△=（-18k）2-4（1+3k2）×15=144k2-60＞0

即k2＞时方程（*）有两个不相等的实数根．

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），

则x1，x2是方程（*）的两个不等的实根，故有x1+x2=．

从而有  x0==，y0=kx0-3==．

于是，可得线段MN的中点P的坐标为P ( ， )

又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1==，

由AP⊥MN，得×k=-1，即5+6k2=9，解得k2=＞，

∴k=±，

∴综上可知存在直线l：y=±x-3满足题意．--------（13分）