热门试卷

设所求椭圆方程为+=1.

依题意知，点P、Q的坐标满足方程组

①②

将②式代入①式，整理得

（a2+b2）x2+2a2x+a2（1-b2）=0，③

设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．

由题设OP⊥OQ，|PQ|=，可得

整理得

④⑤

解这个方程组，得或

根据根与系数的关系，由③式得

（Ⅰ）或（Ⅱ）

解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或

故所求椭圆的方程为+=1，或+=1.

（1）由y=8-x2=0可得x=±2

∴椭圆的焦点坐标为（±2，0），即c=2

∵b，e，为等比数列，

∴()2=b

∵a2=b2+c2

∴a=2，b=2

∴椭圆C1的方程为+=1；

（2）假设存在A，B满足=，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx

由（1）知，C2的方程为-=1

直线与椭圆方程联立，可得（1+3k2）x2=12，即x12=

直线方程与双曲线方程联立，可得（1-2k2）x2=8，即x22=

∵=，∴x12=x22

∴=

∴k2=

∴k=±

∴存在A，B满足=，此时直线AB的方程为y=±x．

由已知得c=2

可设椭圆方程为+=1①…（2分）

将(-2，  -)代入①式中，得a2=2或a2=8…（4分）

∴所求的椭圆方程为+=1…（6分）

（Ⅰ）由抛物线y2=-4x的焦点为F1（-1，0）可知c=1，

∵2a=4∴a=2，∴b2=a2-c2=3

所以椭圆C的方程为：+=1 …（4分）

（Ⅱ）因为过点F1（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，

可设直线l方程为：x=my-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），则

，得（4+3m2）y2-6my-9=0，∴

所以S △F1PQ=|F1F2||y1-y2|=，

令=t，则t≥1，所以S △F1PQ=

而3t+在[1，+∞）上单调递增，

所以S △F1PQ=≤3，当t=1时取等号，

即当m=0时，△F2PQ的面积最大值为3…（8分）