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题型:简答题
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简答题

在棱长为的正方体中,为棱的中点.

(Ⅰ)求证:平面;   (Ⅱ)求与平面所成角的余弦值.

正确答案

(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)

(Ⅰ)(略证):只需证即可。     ……6分

(Ⅱ)连接,由正方体的几何性质可得即为在底面上的射影,则即为与平面所成角.     …… 10分

中,

所以与平面所成角的余弦值为. …… 14分

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题型:填空题
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填空题

如图,一个立方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F,右图是此立方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是______.

正确答案

根据二个图形的字母,可推断出来,A对面是F;B对面是D;C对面是E;

则与D面相对的面上的字母是 B.

故答案为:B.

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题型:简答题
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简答题

如图,已知正三棱柱中,,,点分别在棱上,且

(Ⅰ)求平面与平面所成锐二面角的大小;

(Ⅱ)求点到平面的距离.

正确答案

(1) (2)

(Ⅰ)延长相交于点,连结,则二面角的大小为所求.作于点,连结,由三垂线定理知.∴为所求二面角的大小.由已知,,.由余弦定理得,

,可得.在

中,,则所求角为.…6分(也可用射影法求)

(Ⅱ)由已知矩形的面积为,,,,

.由

可得.设所求距离为,则由得,

,∴即为所求.……12分(用空间向量相应给分)

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题型:简答题
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简答题

如图,平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=900, ∠BDC=600,BC=6,AB=AC.

(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角A—CD—B的平面角的正切值;

(Ⅲ)设过直线AD且与BC平行的平面为,求点B到平面的距离。

正确答案

(1)证明见解析(2) 2(3)

(Ⅰ)证明  ∵平面ACB⊥平面BCD,∠CBD=900

∴DB⊥平面ACB, ∴DB⊥CA.又∠CAB=900,∴CA⊥平面ADB

∴平面ACB⊥平面BCD. ——————————4分

(Ⅱ)解 设BC的中点为E,作EF⊥CD,垂足为F,连结AF。

∵AC=AB,∴AE⊥BC,∵平面ACB⊥平面BCD, ∴AE⊥平面BCD,

∴FE是AF在平面BCD内的射影,

∴AF⊥CD,

即∠AFE就是二面角A—CD—B的平面角。                        ———————6分

在等腰直角△ABC中,斜边BC="6," ∴AE=3,且CE=3,

在Rt△CEF中,∠ECF=300, ∴EF=,

∴tan∠AFE=,即二面角A—CD—B的平面角的正切值是2. ———————8分

(Ⅲ)解 如图,设DC的中点为G,分别以直线EG.EB.EA为x.y.z轴,建立空间直角坐标系E—xyz.

∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(,3,0)

,

设过AD和BC平行的平面的一个法向量是n=(a,b,c),则有

,即

且3b=0,取得n=

∴点B到的距离d=。    ———————12分

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题型:简答题
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简答题

如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.

求证:(1)E,C,D1,F四点共面;

(2)CE,D1F,DA三线共点.

正确答案

证明略

(1)如图所示,连接CD1,EF,A1B,

∵E、F分别是AB和AA1的中点,

∴EF∥A1B且EF=A1B,

又∵A1D1   BC,

∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1

∴EF与CD1确定一个平面

∴E,F,C,D1

即E,C,D1,F四点共面.

(2)由(1)知EF∥CD1,且EF=CD1

∴四边形CD1FE是梯形,

∴CE与D1F必相交,设交点为P,

则P∈CE平面ABCD,

且P∈D1F平面A1ADD1

∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,

∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三线共点.

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题型:简答题
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简答题

(12分)正方形ABCD边长为4,点E是边CD上的一点,

AED沿AE折起到的位置时,有平面 平面ABCE,

并且(如图)

(I)判断并证明E点的具体位置;(II)求点D/到平面ABCE的距离.

正确答案

(I)略   (II)

(I)连结AC、BD交于点O,再连DD,由BDAC,且平面ACD平面ABCE于AC,∴BD平面ACD,故CDBD,又CDBD,∴CD平面BDD,即得CDDD,在Rt△CDD中,由于ED=ED,∴∠EDD=∠EDD,

则∠ECD=900EDD=900EDD=∠EDC,∴EC=ED=ED,

即E点为边CD的中点. …………………6分

  (II)方法一:如图取OC的中点M,连结DM、EM,

则EM//BD,得EM平面ACD

即∠EMD=900,又因为DE=2,EM=

则DM=,又ADEM,∵ADDE,

∴ ADDE,∴AD面EMD

则ADDM,在Rt△AMD中,AD=4,AM=,DM=

过D作DHAM于H点,则DH平面ABCE,

由于DH=,此即得点D到平面ABCE的距离.

方法二:如图, 连结OD,∵CD平面BDD, 

∴CDOD

在△ADC中,设OD

则∵OC,∴CD=

∵∠AOD与∠DOC互补,

由余弦定理得

解得,在直角三角形ODC中, 

面积公式得所求距离为

方法三:能用最小角定理帮助解△ADC,

,其中

可求.

另解: 建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),

A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),

设E(0,,0),D),

设DH平面ABCE于H点,则H在AC上,

∴H的坐标为(,0),依题意有:

,∴

,∴

两式相减,

代入得,从而有

即E为CD中点,点D到平面ABCE的距离是. …………………12分

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题型:填空题
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填空题

在平面几何中,有这样一个定理:过三角形的内心作一直线,将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中,有关四面体的相似性质:               .

正确答案

过四面体的内切球的球心作截面交三条棱于三点,则分成的两部分体积之比等于表面积之比.

试题分析:设四面体的内切球的球心为,过作截面交三条棱于点,记内切圆半径为,则也表示点到各面的距离,利用体积的“割补法”知:

从而.

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题型:简答题
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简答题

在直角梯形ABCD中,AD//BC,,,如图(1).把沿翻折,使得平面,如图(2).

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求三棱锥的体积;

(Ⅲ)在线段上是否存在点N,使得?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)根据题意中的平面,可知得到,进而得到,根据线面垂直的性质定理得到结论。

(2)

(3)在线段上存在点N,使得,此时

试题分析:解:(Ⅰ)∵平面

,                                2分

又∵,∴.                4分

(Ⅱ)如图(1)在.

.

.                           6分

如图(2),在,过点,∴

,                     7分

.              8分

(Ⅲ)在线段上存在点N,使得,理由如下:

如图(2)在中,

,                            9分

过点E做于点N,则

,                        10分

,∴

∴在线段上存在点N,使得,此时.       12分

点评:本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想

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题型:简答题
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简答题

如图,为圆柱的母线,是底面圆的直径,分别是的中点,

(1)证明:

(2)求四棱锥与圆柱的体积比;

(3)若,求与面所成角的正弦值.

正确答案

解:(1)证明:连结.分别为的中点,∴.

,且.∴四边形是平行四边形,

. ∴.   ………………………4分

(2)由题,且由(1)知.∴,∴ ,∴.

是底面圆的直径,得,且

,即为四棱锥的高.设圆柱高为,底半径为

. ………………………9分

(3)解一:由(1)(2)可知,可分别以为坐标轴建立空间直角标系,如图

,则,从而

,由题,是面的法向量,设所求的角为.

. …………………14分

解二:作过的母线,连结,则是上底面圆的直径,连结

,又,∴,连结

与面所成的角,设,则

.……12分

中,

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题型:填空题
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填空题

如图2,长方体中,其中外接球球心为点O,外接球体积为,若的最小值为,则两点的球面距离为         .

正确答案

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