- 带电粒子在电场中运动的综合应用
- 共1139题
（12分）如图甲所示，M、N为水平放置的平行板电容器的两个极板，两极板间距d=0.1m，两极板间的电压U=12.5V，O为上极板中心的小孔，以O为坐标，在y=0和y=2m之间有沿着x轴方向的匀强电场，PQ为电场区域的上边界，在x轴方向范围足够大，电场强度的变化如图乙所示，取x轴正方向为电场正方向。现有一个带负电的粒子，在t=0时刻从紧靠下级板中心O´处无初速释放，经过小孔O进入交变电场中，粒子的比荷
（3）离开交变电场时的速度大小和方向。
正确答案
（1）50m/s（2）（0.032m,0.2m）（3）
试题分析：（1）粒子运动至小孔O的速度为
由动能定理得
代入数据得
（2）粒子O´运动至O所用的时间为
即自
在y方向上，粒子做匀速运动，
在x方向上，粒子向右匀加速运动的加速度大小
粒子向右运动的位移
故粒子在
（3）由图可知，交变电场的变化周期
粒子在交变电场中，在y方向上，一直匀速运动；在x方向上，一直向右运动，先匀加速，再匀减速至静止，这样周期性运动下去。 1分
粒子在交变电场中运动的时间
故粒子离开交变电场时的水平速度为0 1分
因此，粒子离开交变电场时的速度
点评：带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同．先分析受力情况再分析运动状态和运动过程（平衡、加速、减速，直 线或曲线），然后选用恰当的规律解题．解决这类问题的基本方法有两种，第一种利用力和运动的观点，选用牛顿第二定律和运动学公式求解；第二种利用能量转化 的观点，选用动能定理和功能关系求解．
如图甲所示，M、N是水平放置的一对金属板，其中M板中央有一个小孔O，两极板加一电压U．AB是一长4L的轻质绝缘细杆，在杆上等间距为L地固定着5个完全相同的带正电小球，每个小球的电荷量为q、质量为m．现将最下端小球置于O处，然后将AB由静止释放，AB在运动过程中始终保持竖直．当极板电压为U0时，经观察发现，在第2个小球进入电场到第3个小球进入电场这一过程中AB做匀速运动．设两金属板间距足够大，求：
（1）两板间电场强度E；
（2）上述匀速运动过程中速度的大小v1；
（3）第4个小球在O处时速度的大小v2
（4）设第1个小球进入电场到第2个进入电场经历的时间为t0，为了让第2个小球进入电场起AB一直做匀速运动，则电压U随时间t如何变化？请在图乙中画出．
正确答案
（1）据题，在第2个小球进入电场到第3个小球进入电场的过程中AB做匀速运动，电场力与重力平衡，则有
2qE=5mg，得：E=
（2）研究第1个小球进入电场的过程，根据动能定理得：
5mgL-qEL=
（3）研究第3个小球进入电场的过程，根据动能定理得
5mg•3L-3qEL-2qEL-qEL=
将E=
（4）第1个小球进入电场到第2个进入电场，AB做匀加速运动，为了让第2个小球进入电场起AB一直做匀速运动，设每通过L位移的时间为t，则有
L=
第2个小球进入电场时，有：
5mg=2q
要使AB做匀速运动，第3个小球进入电场时
5mg=3q
第4个进入小球电场时
5mg=4q
第5个进入小球电场时
5mg=5q
将②③④式与①式相比较，得到
U3=
作出图象如右图．（图象最后两段数据对应的是
答：（1）两板间电场强度E为
（2）上述匀速运动过程中速度的大小v1为
（3）第4个小球在O处时速度的大小v2为0．
（4）电压U随时间t的图象如图所示．
如图，在坐标系xoy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E．一质量为m、带电量为+q的粒子自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场．已知OP=d，OQ=2d，不计粒子重力．
（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向．
（2）若磁感应强度的大小为一定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间．
正确答案
（1）设粒子在电场中运动的时间为t0，加速度的大小为a，粒子的初速度为v0，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为vy，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿第二定律得qE=ma ①
由运动学公式得d=
2d=v0t0 ③
vy=at0 ④
v=
tanθ=
联立①②③④⑤⑥式得v=2
θ=45° ⑧
（2）设粒子做圆周运动的半径为R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图，O1为圆心，由几何关系可知△O1OQ
由牛顿第二定律得qvB0=m
联立⑦⑨⑩式得B0=
（3）设粒子做圆周运动的半径为R2，由几何分析（粒子运动的轨迹如图，O2、O'2是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点，连接O2、O'2，由几何关系知，O2FGO'2和O2QHO'2均为矩形，进而知FQ、GH均为直径，QFGH也是矩形，又FH⊥GQ，可知QFGH是正方形，△QOG为等腰直角三角形）可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得2R2=2
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有t=
联立⑦（12）（13）（14）得
t=(2+π)
答：（1）粒子过Q点时速度的大小为v=2
（2）B0的大小为B0=
（3）该粒子相邻两次经过Q点所用的时间t=(2+π)
如图甲所示，A、B两块金属板水平放置，相距为d="0." 6 cm，两板间加有一周期性变化的电压，当B板接地（
（1）在0～
（2）要使该微粒不与A板相碰，所加电压的周期最长为多少（g="10" m/s2）．
正确答案
(1) 在0～
试题分析：(1)设电场力大小为F，则F= 2mg，对于t=0时刻射入的微粒，在前半个周期内，有
后半个周期的加速度a2满足
(2)前半周期上升的高度
则上升的总高度为
在后半周期的
上述计算表明，微粒在一个周期内的总位移为零，只要在上升过程中不与A板相碰即可，则
所加电压的周期最长为
如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域，半径为R，内壁光滑，内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN，圆心O恰好在MN的中点，半圆管的一半处于电场中，一质量为m，可视为质点的带正电，电荷量为q的小球从半圆管的A点由静止开始滑入管内，小球从B点穿过后，能够通过B点正下方的C点，重力加速度为g，小球在C点处的加速度大小为
（1）带匀强电场场强E；
（2）小球在到达B点前一瞬间时，半圆轨道对它的作用力的大小；
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的高度和宽度满足什么条件？
正确答案
（1）小球在C处受水平向右的电场力F和竖直方向的重力mg，由题，加速度为
则由
解得 E=
（2）小球从A→B过程，根据动能定理得：
mg•2R-qER=
解得：vB=
根据牛顿第二定律得：
N-mg=m
代入解得：N=
（3）小球从B→C水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做自由落体运动
水平方向：ax=
竖直方向：ay=g
设向左减速时间为t，则有t=
x=
y=
虚线框MNPQ的宽度应满足条件L＞2R，高度应满足条件H＞R+
答：
（1）带匀强电场场强E=
（2）小球在到达B点前一瞬间时，半圆轨道对它的作用力的大小为N=
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的宽度应满足条件L＞2R，高度应满足条件H＞
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