热门试卷

解：（Ⅰ）依题意有：，且c2 =a2+b2 

所以a2=1，b2=3 

双曲线 的方程为                    

（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线 l不存在。

②若直线l 的斜率为0 ，则线段AB 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在。

③若直线 l的斜率为± ，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线 l不存在。

④若直线 l的斜率存在，且不为 0不为± 时设为k ，则直线l 的方程为y=kx-1

 设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 得（3-k2）x+2kx-4=0  

△=4k2+16（3-k2）>0-2

∴x1+x2=，y1+y2=    

∴线段AB 的中点为（，） 

∴线段AB 的垂直平分线 

∴P（，0）Q（0，）       

∴ 线段PQ 的中点为（，） 

若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以

解得k2=-1 ，这矛盾

综上，不存在满足条件的直线

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），

∴ ， ，

∵PA与PB的斜率之积为3，

∴ ，x≠±1，

∴ ．

（2）①∵∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角，

∵tanα= ，tanβ= ， ，

∴tan2β= = = =tanα．

②由题意C（x1，y1），y1＞0，D（x2，y2），y2＜0，

联立 ，得2y2+6by﹣9b2+9=0，

则△=36b2﹣4×2（﹣9b2+9）＞0，

∴ ， y1+y2=﹣3b， ，

∴b2＞1．故y2﹣y1=﹣3b， ，

∴b2＞1，故 ，

设∠DFB=γ，∠DBF=θ，

∵ ，tan ， ，

∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，

∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），

∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，

∵α，2β∈（0，π），

∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，

又∠DFB=2∠DBF，

∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，

∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，

由到角公式，得 = ， ∴ = ，

即 ，

∴4b+4=﹣ ，解得b=﹣ ，满足b2＞1，

∴b=﹣ ．

解：（1）依题意：双曲线C的焦点在x轴上 ，且c=2，a=，∴b=1，

∴双曲线C的方程为。

（2）依题意，将直线：y=kx+代入，

有，

∴，

化简得：且，

解得：。

（3）∵直线：y=k（x-2）与双曲线C有两个不同的交点A，B且，

设，

将直线y=k（x-2）代入双曲线，

有，

∴，且，

又，

∴，

∴，

即，

将代入上式并化简，

得，∴，

故所求直线的方程为。

解：∵，

∴直线AB过焦点F，

∴直线AB为，

代入，有，

解得：，，

又=4+1=5，，

∴。

解：设y=kx-2k+1．

由消y并化简，得（2-k2）x2+2k（2k-1）x-4k2+4k-3=0．  

设直线与双曲线的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

当2-k2≠0即k2≠2时，

有

又点P(2，1)是弦P1P2的中点，

，解得k=4．    

当 k=4时

Δ=4k2 (2k-1)2-4(2-k2) (-4k2+4k-3)=56×5>0,

当k2=2即时，

与渐近线的斜率相等，

即的直线l与双曲线不可能有两个交点，  

综上所述，所求直线方程为y=4x-7．  

(2)假设这样的直线l存在，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），

则有

∴x1+x2=2，y1+y2=2，

且两式相减，得

∴2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2) (y1+y2)=0,

∴2(x1-x2)-（y1-y2)=0.

若直线Q1Q2⊥QX，则线段Q1Q2的中点不可能是点Q(1，1)，

所以直线Q1Q2有斜率，于是

∴直线Q1Q2的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．

由得2x2-（2x-1）2=2，    即2x2-4x+3 =0，    

∴Δ=16-24 <0．

这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．

解：（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1,    

整理得（k2 -2）x2 +2kx+2 =0，    ①    

依题意，直线与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同两点    A、B，

∴

解得k的取值范围是

（2）设A、B两点的坐标分别是（x1，y1）、(x2，y2)，

则由①式得

假设存在实数k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线右焦点F（c，0），

则由FA⊥FB得（x1-c）（x2-c）+y1y2=0，

即（x1-c）（x2-c）+（kx1+1）（kx2+1）=0，

整理得（k2+1）x1x2+(k-c)（x1+x2）+c2+1=0，    ③

把②式及代入③式化简得

解得或

又不符合，所以舍去．

可知可使得以线段AB为直径的圆经过双曲线的右焦点F

解：(Ⅰ)由题意得，解得，

所以b2=c2-a2=2，

所以双曲线C的方程为。

(Ⅱ)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，

由得（判别式△＞0），

所以m，y0=x0+m=2m，

因为点M(x0，y0)在圆x2+y2=5上，

所以m2+(2m)2=5，故m=±1。

解：（1）过点M作MN垂直直线线于N．

依题意得|MN|=|AM|

所以动点M的轨迹为是以A（，0）为焦点，直线x=﹣为准线的抛物线，

即曲线w的方程是y2=6x

（2）依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为x=ky+，化简得y2﹣6ky﹣9=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

x1+x2=5

∴|PQ|=|PA|+|AQ|=+x2=x1+x2+3=8

解：（1）∵F2（﹣2，0），F2（2，0），点P满足||PF1|﹣|PF2||=2，

∴c=2，a=1，b2=3，

∴点P的轨迹E的方程为：．

（2）①若l的斜率存在，设l的方程为：y=k（x﹣2），

由，

消y得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，

∵l与曲线交于不同点P，Q，

∴，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

，，，

∵M（﹣1，0），

∴

                =（k2+1）x1x2﹣（2k2﹣1）（x1+x2）+1+4k2=0．

②若直线l的斜率存在，则P（2，3），Q（2，﹣3），M（﹣1，0），

∴成立，故当直线l绕点F2旋转时，均有．