热门试卷

解答见解析．

本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．

解法一：设双曲线的方程为=1．

依题意知，点P，Q的坐标满足方程组

 将②式代入①式，整理得(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0．   ③    ——3分

设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0．

根据根与系数的关系，有

            ④

        ⑤                              ——6分

由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．

由OP⊥OQ得·=－1，

整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0．         ⑥

将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得3a4+8a2b2－3b4=0，即(a2+3b2)(3a2－b2)=0．

因为        a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以   c==2a．         ——8分

由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42．

整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0．   ⑦

将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1．                     ——10分

将a2 =1代入b2=3a2得    b2=3．

故所求双曲线方程为x2－=1．                                   ——12分

解法二：④式以上同解法一．                                      ——4分

解方程③得x1=，x2=   ④        ——6分

由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．

由OP⊥OQ，得x1 x2＋(x1－c)·(x2－c)=0．     ⑤

将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得     3a4+8a2b2－3b4=0，

即   (a2+3b2)(3a2－b2)=0．因a2+3b2≠0，解得b2=3a2．             ——8分

由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42．

即     (x2－x1)2=10．        ⑥

将④式代入⑥式并整理得(5b2－3a2)2－16a2b4=0．               ——10分

将b2=3a2代入上式，得a2=1，将a2=1代入b2=3a2得b2=3．

故所求双曲线方程为x2－=1．             ——12分