两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinωx•sin（-φ）-sin（+ωx）sin（π+φ）是R上的偶函数，其中ω＞0，0≤φ≤π，其图象关于点M（，0）对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值．

正确答案

解：∵函数f（x）=sinωx•sin（-φ）-sin（+ωx）sin（π+φ）

=sinωx•cosφ+cosωx•sinφ=sin（ωx+φ）是偶函数，

∴φ=2kπ+，k∈z．

再结合0≤φ≤π，可得φ=，故f（x）=sin（ωx+）=cosωx．

再根据函数f（x）的图象关于点M（，0）对称，可得cos（ω•）=0，

∴ω•=nπ+，n∈z，即ω=．

再由f（x）=cosωx 在区间[0，]上是单调函数，可得ω•≤π，∴ω≤2，∴ω=2．

综上可得，ω=或2，φ=．

解析

解：∵函数f（x）=sinωx•sin（-φ）-sin（+ωx）sin（π+φ）

=sinωx•cosφ+cosωx•sinφ=sin（ωx+φ）是偶函数，

∴φ=2kπ+，k∈z．

再结合0≤φ≤π，可得φ=，故f（x）=sin（ωx+）=cosωx．

再根据函数f（x）的图象关于点M（，0）对称，可得cos（ω•）=0，

∴ω•=nπ+，n∈z，即ω=．

再由f（x）=cosωx 在区间[0，]上是单调函数，可得ω•≤π，∴ω≤2，∴ω=2．

综上可得，ω=或2，φ=．

题型：简答题

简答题

（2015春•淄博校级月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x-

（1）求函数y=f（-2x）+1的最小正周期和单调递减区间；

（2）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（-）=，且a=8，sinB+sinC=，求△ABC的面积．

正确答案

解：（1）化简可得f（x）=2sinxcosx+2cos2x-

=2sinxcosx+（2cos2x-1）

=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

∴y=f（-2x）+1=2sin（-4x+）+1

=-2sin（4x-）+1，

∴函数y=f（-2x）+1的最小正周期T==，

由2kπ-≤4x-≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+，

∴函数的单调递减区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；

（2）∵f（-）=，∴2sin（A-+）=，

∴sinA=，∵A为锐角，∴A=，

由正弦定理可得sinB+sinC=sinA=×=，

∴b+c=13，

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA，

代入数据可得64=169-3bc，∴bc=35，

∴△ABC的面积S=bcsinA==

解析

解：（1）化简可得f（x）=2sinxcosx+2cos2x-

=2sinxcosx+（2cos2x-1）

=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

∴y=f（-2x）+1=2sin（-4x+）+1

=-2sin（4x-）+1，

∴函数y=f（-2x）+1的最小正周期T==，

由2kπ-≤4x-≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+，

∴函数的单调递减区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；

（2）∵f（-）=，∴2sin（A-+）=，

∴sinA=，∵A为锐角，∴A=，

由正弦定理可得sinB+sinC=sinA=×=，

∴b+c=13，

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA，

代入数据可得64=169-3bc，∴bc=35，

∴△ABC的面积S=bcsinA==

题型：填空题

填空题

若cosθ=-，θ∈（，π），则sin（-θ）=______．

正确答案

解析

解：cosθ=-，θ∈（，π），

则sinθ==，

则有sin（-θ）=sincosθ-cossinθ

=×-=-．

故答案为：-．

题型：填空题

填空题

三角形ABC中．若sin（A+B-C）=sin（A-B+C），则这个三角形的形状为______．

正确答案

等腰三角形或直角三角形

解析

解：三角形ABC中，若sin（A+B-C）=sin（A-B+C），再结合A+B-C和A-B+C的范围是（-π，π），

可得A+B-C=A-B+C，或 A+B-C+（A-B+C）=π，

求得B=C，或 A=，

∴这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形，

故答案为：等腰三角形或直角三角形．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinx+2cosx，（x∈R）

①求函数f（x）的最大值和最小值；

②求f（x）的单调递区间．

正确答案

解：（1）f（x）=2sinx+2cosx=4（sinx+cosx）=4sin（x+），

∵1≤sin（x+）≤1

∴-4≤4sin（x+）≤4

即函数f（x）的最大值为4，最小值为-4

（2）当2kπ-≤x+≤2kπ+时，即2kπ-≤x≤2kπ+时，k∈Z，

函数单调增，

∴函数的单调增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），

当2kπ+≤x+≤2kπ+时，即2kπ+≤x≤2kπ+时，k∈Z，函数单调减，

∴函数f（x）的单调减区间为[2kπ+，2kπ+]（．k∈Z）．

解析

解：（1）f（x）=2sinx+2cosx=4（sinx+cosx）=4sin（x+），

∵1≤sin（x+）≤1

∴-4≤4sin（x+）≤4

即函数f（x）的最大值为4，最小值为-4

（2）当2kπ-≤x+≤2kπ+时，即2kπ-≤x≤2kπ+时，k∈Z，

函数单调增，

∴函数的单调增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），

当2kπ+≤x+≤2kπ+时，即2kπ+≤x≤2kπ+时，k∈Z，函数单调减，

∴函数f（x）的单调减区间为[2kπ+，2kπ+]（．k∈Z）．

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