两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数．

（1）sin212°+sin248°+sin12°sin48°

（2）sin215°+sin245°+sin15°sin45°

（3）sin2（-12°）+sin272°+sin（-12°）sin72°

（4）sin2（-15°）+sin275°+sin（-15°）sin75°

（Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论．

正确答案

解：（Ⅰ）选择（2），计算如下：

sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故这个常数为．

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．

证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）

=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）

=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=．

解析

解：（Ⅰ）选择（2），计算如下：

sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，故这个常数为．

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=．

证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）

=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）

=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=．

题型：简答题

简答题

已知sin（α+β）=1，求证：tan（2α+β）+tanβ=0．

正确答案

证明：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+（k∈Z）

∴，

把α代入到等式左边得：

=tan（4kπ+π-2β+β）+tanβ

=tan（4kπ+π-β）+tanβ

=tan（π-β）+tanβ

=-tanβ+tanβ=0，

∴tan（2α+β）+tanβ=0

解析

证明：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+（k∈Z）

∴，

把α代入到等式左边得：

=tan（4kπ+π-2β+β）+tanβ

=tan（4kπ+π-β）+tanβ

=tan（π-β）+tanβ

=-tanβ+tanβ=0，

∴tan（2α+β）+tanβ=0

题型：简答题

简答题

证明恒等式：．

正确答案

证明：等式的左边===tanα=等式的右边．

解析

证明：等式的左边===tanα=等式的右边．

题型：简答题

简答题

（2015•南通模拟）已知函数f（x）=sinxsin（x+）．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，a=2，且△ABC的面积为2，求c的值．

正确答案

解：（1）f（x）=sinxsin（x+）=sinx=+=+=+．

故最小正周期为π．

（2）f（C）=+=，

化为=1，

∵C∈（0，π），

∴=，

解得C=．

由三角形面积公式S=sinC=2，且a=2，

∴sin=2，

可得b=4．

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=22+42-2×2×4cos，

可得c=2．

解析

解：（1）f（x）=sinxsin（x+）=sinx=+=+=+．

故最小正周期为π．

（2）f（C）=+=，

化为=1，

∵C∈（0，π），

∴=，

解得C=．

由三角形面积公式S=sinC=2，且a=2，

∴sin=2，

可得b=4．

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=22+42-2×2×4cos，

可得c=2．

题型：单选题

单选题

化简：（sinα+cosα）2=（　　）

A1+sin2α

B1-sinα

C1-sin2α

D1+sinα

正确答案

解析

解：∵（sinα+cosα）2 =1+2sinαcosα=1+sin2α，

故选：A．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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