两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：填空题

填空题

若α∈（0，），cos（-α）=2cos2α，则sin2α=______．

正确答案

解析

解：cos（-α）=（cosα+sinα）=2cos2α，即cosα+sinα=4cos2α，

两边平方得：（cosα+sinα）2=16cos22α，即1+sin2α=16（1-sin22α），

解得：sin2α=或sin2α=-1，

∵α∈（0，），∴2α∈（0，π），

∴sin2α=-1不合题意，舍去，

则sin2α=．

故答案为：

题型：简答题

简答题

在△ABC中，A为最小角，B为最大角，已知sin（2A+C）=，sinB=，求cos2（B+C）

正确答案

解：∵在△ABC中，A为最小角，B为最大角，且sin（2A+C）=，sinB=，

∴2A+C=B，或2A+C+B=π，显然2A+C+B=π可推得A=0矛盾，

∴2A+C=B，∴2A+2C=B+C，∴2（A+C）=B+C，

∴2（π-B）=2π-2B=B+C，

∴cos（B+C）=cos（2π-2B）=cos2B=1-2sin2B=-

∴cos2（B+C）=

解析

解：∵在△ABC中，A为最小角，B为最大角，且sin（2A+C）=，sinB=，

∴2A+C=B，或2A+C+B=π，显然2A+C+B=π可推得A=0矛盾，

∴2A+C=B，∴2A+2C=B+C，∴2（A+C）=B+C，

∴2（π-B）=2π-2B=B+C，

∴cos（B+C）=cos（2π-2B）=cos2B=1-2sin2B=-

∴cos2（B+C）=

题型：简答题

简答题

已知向量=（2cosx，2sinx），=（cosx，cosx），设f（x）=-1．

（I）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．

正确答案

解：（I）由于函数f（x）=-1=2cos2x+2sinxcosx-1=cos2x+sin2x=2sin（2x+），

令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（Ⅱ）在△ABC中，由于=2sin（C+），∴sin（C+）=1，∴C=．

再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得 ainAcosB=sinBcosA，∴sin（A-B）=0．

再由-π＜A-B＜π，可得 A-B=0，故 A=B=C=，

故△ABC为等边三角形．

解析

解：（I）由于函数f（x）=-1=2cos2x+2sinxcosx-1=cos2x+sin2x=2sin（2x+），

令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（Ⅱ）在△ABC中，由于=2sin（C+），∴sin（C+）=1，∴C=．

再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得 ainAcosB=sinBcosA，∴sin（A-B）=0．

再由-π＜A-B＜π，可得 A-B=0，故 A=B=C=，

故△ABC为等边三角形．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sin（2x+）（x∈R）

（1）求f（）的值；

（2）若△ABC中，A=，f（+）=，求f（-）

正确答案

解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin（+）=2cos=．

（2）△ABC中，由A=，f（+）=，可得 2sin（B++）=2cosB=，∴cosB=，sinB=．

故f（-）=2sin（C-+）=2sinC=2sin（A+B）=2sincosB+2cossinB=2××+2×=．

解析

解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin（+）=2cos=．

（2）△ABC中，由A=，f（+）=，可得 2sin（B++）=2cosB=，∴cosB=，sinB=．

故f（-）=2sin（C-+）=2sinC=2sin（A+B）=2sincosB+2cossinB=2××+2×=．

题型：单选题

单选题

已知函数f（x）=sinx+2cos2，设a=f（），b=f（），c=f（），则a，b，c的大小关系是（　　）

Aa＜b＜c

Bc＜a＜b

Cb＜a＜c

Db＜c＜a

正确答案

解析

解：化简可得f（x）=sinx+2cos2

=sinx+（1+csox）=+sinx+cosx

=+2sin（x+），

∴a=f（）=+2sin（+）=+2sin，

b=f（）=+2sin（+）=+2sin，

c=f（）=+2sin（+）=+2sin=2sin，

由函数y=sinx在（0，）单调递增可得sin＜sin＜sin，

∴c＜a＜b，

故选：B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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