逆变换与逆矩阵_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，

（1）求k的值．

（2）判断变换MN是否可逆，如果可逆，求矩阵MN的逆矩阵；如不可逆，说明理由．

正确答案

解：（1）由题设得MN==，

由 =，

可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．

计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，

则由题设知：|k|=2×1=2．

所以k的值为2或-2．

（2）令MN=A，设是A的逆矩阵，则 =

①当k≠0时，上式，MN可逆，（8分）

所以MN的逆矩阵是．（10分）

②当k≠0时，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．

解析

解：（1）由题设得MN==，

由 =，

可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．

计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，

则由题设知：|k|=2×1=2．

所以k的值为2或-2．

（2）令MN=A，设是A的逆矩阵，则 =

①当k≠0时，上式，MN可逆，（8分）

所以MN的逆矩阵是．（10分）

②当k≠0时，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．

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题型：填空题

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填空题

选修4-2：矩阵与变换

已知△ABC经过矩阵M的变换后变成△A‘B'C'，且A（1，0），B（1，-1），C（0，-1），A'（1，0），B'（0，-1）．

（Ⅰ）求矩阵M，并说明它的变换类型；

（Ⅱ）试求出点C'的坐标及M的逆矩阵M-1．

正确答案

解析

解：（I）设M=，根据题意得=，

==，

∴，解得，

∴M=，它是沿x轴方向的切变变换；

（II）∵=，

∴点C‘的坐标（-1，-1）；

又|M|=1，∴M-1=．

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题型：简答题

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简答题

写出关于直线y=12x的反射变换的矩阵．

正确答案

解：点p0（x0，y0）关于直线y=12x的对称点为P′（x′，y′）．

∴，

∴=，

∴关于直线y=12x的反射变换的矩阵为：．

解析

解：点p0（x0，y0）关于直线y=12x的对称点为P′（x′，y′）．

∴，

∴=，

∴关于直线y=12x的反射变换的矩阵为：．

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题型：简答题

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简答题

（1）若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（-b，a）．

（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；

（Ⅱ）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点A和B，求|AB|；

（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：（θ为参数），试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程．

（3）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．

（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

正确答案

解：（1）（Ⅰ）∵矩阵M=，∴矩阵的行列式为=1≠0

∴；

（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=所对应变换的作用下的点为（x，y），则

=，∴

代入x2+y2=1，可得4x2+y2=1；

（2）（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y=x和（x-1）2+（y-2）2=5，则圆心为C（1，2），半径R=

从而C到直线y=x的距离d==

由垂径定理得|AB|=2=3

（Ⅱ）直线C1的极坐标方程为：，直角坐标方程为x+y=2；曲线C2的参数方程为：（θ为参数），普通方程为：（x-1）2+（y-3）2=1，圆心坐标为（1，3），半径为1

圆心坐标为（1，3）关于x+y=2对称点的坐标为（1，-1），

∴曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程为（x+1）2+（y-1）2=1；

（3）（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）

由绝对值不等式的性质可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20

∴实数m的取值范围为（-∞，20]；

（Ⅱ）由柯西不等式可得[]≥x+y+z

∵2x2+3y2+6z2=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）2，

∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，

当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，∴a=1．

解析

解：（1）（Ⅰ）∵矩阵M=，∴矩阵的行列式为=1≠0

∴；

（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=所对应变换的作用下的点为（x，y），则

=，∴

代入x2+y2=1，可得4x2+y2=1；

（2）（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y=x和（x-1）2+（y-2）2=5，则圆心为C（1，2），半径R=

从而C到直线y=x的距离d==

由垂径定理得|AB|=2=3

（Ⅱ）直线C1的极坐标方程为：，直角坐标方程为x+y=2；曲线C2的参数方程为：（θ为参数），普通方程为：（x-1）2+（y-3）2=1，圆心坐标为（1，3），半径为1

圆心坐标为（1，3）关于x+y=2对称点的坐标为（1，-1），

∴曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程为（x+1）2+（y-1）2=1；

（3）（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）

由绝对值不等式的性质可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20

∴实数m的取值范围为（-∞，20]；

（Ⅱ）由柯西不等式可得[]≥x+y+z

∵2x2+3y2+6z2=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）2，

∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，

当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，∴a=1．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．

正确答案

解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即

因为k≠0，所以a=2． …（5分）

因为A-1=，所以A=，即=，

所以2+k=3，解得k=1．

综上，a=2，k=1．…（10分）

解析

解：设特征向量为α=，对应的特征值为λ，则=λ，即

因为k≠0，所以a=2． …（5分）

因为A-1=，所以A=，即=，

所以2+k=3，解得k=1．

综上，a=2，k=1．…（10分）

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