三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：填空题

填空题

（理）若tan（）=，则tan2α的值是______．

正确答案

解析

解：∵tan（α+）==，即4tanα+4=3-3tanα，

∴tanα=-，

则tan2α===-．

故答案为：-

题型：简答题

简答题

（2014秋•婺城区校级期末）已知函数f（x）=2cosx•sin（x-）．

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若f（）=，（＜α＜），求．

正确答案

解：（1）f（x）=2cosx•sin（x-）=2cosx（sinx-cosx）

=sinxcosx-cos2x=sin2x-=sin（2x-）；

要求f（x）的减区间，只要2x-∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，∴x∈[+kπ，+kπ]；

所以函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]；k∈Z

（2）因为f（）=，（＜α＜），所以sin（α-）=，

∵，∴，

∴cos（α-）=，

∴==cosα=cos（α-+）

=cos（）cos-sin（）sin

=．

解析

解：（1）f（x）=2cosx•sin（x-）=2cosx（sinx-cosx）

=sinxcosx-cos2x=sin2x-=sin（2x-）；

要求f（x）的减区间，只要2x-∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，∴x∈[+kπ，+kπ]；

所以函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]；k∈Z

（2）因为f（）=，（＜α＜），所以sin（α-）=，

∵，∴，

∴cos（α-）=，

∴==cosα=cos（α-+）

=cos（）cos-sin（）sin

=．

题型：简答题

简答题

（2015秋•南京校级月考）已知，，求下列各式的值：

（1）；

（2）sin2α-3sinαcosα+1．

正确答案

解：∵已知，，sin2α+cos2α=1，

∴sinα=，cosα=，

∴（1）==-1；

（2）sin2α-3sinαcosα+1=-3••+1=．

解析

解：∵已知，，sin2α+cos2α=1，

∴sinα=，cosα=，

∴（1）==-1；

（2）sin2α-3sinαcosα+1=-3••+1=．

题型：简答题

简答题

已知α∈[0，2π），化简+．

正确答案

解：∵α∈[0，2π），

∴+

=|sinα-cosα|+|sinα+cosα|．

当0≤α＜时，原式=2cosα；

当≤α时，原式=2sinα；

当＜α≤π时，原式=-2cosα；

当π＜α≤时，原式=-2cosα；

当时，原式=-2sinα；

当＜α＜2π时，原式=2cosα．

解析

解：∵α∈[0，2π），

∴+

=|sinα-cosα|+|sinα+cosα|．

当0≤α＜时，原式=2cosα；

当≤α时，原式=2sinα；

当＜α≤π时，原式=-2cosα；

当π＜α≤时，原式=-2cosα；

当时，原式=-2sinα；

当＜α＜2π时，原式=2cosα．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinx（cosx-sinx）．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）将函数y=sin2x的图象向左平移a（0＜a＜）个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象，求a，b的值；

（3）求函数f（x）的单调增区间．

正确答案

解：（1）化简可得f（x）=sinx（cosx-sinx）

=sixcosx-sin2x=sin2x-（1-cos2x）

=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-

∴函数f（x）的最小正周期T==π；

（2）将函数y=sin2x的图象向左平移a（0＜a＜）个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象

∴f（x）=sin（2x+2a）-b，比较f（x）=sin（2x+）-可得a=，b=；

（3）由2kπ-≤2x+≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+，

∴函数f（x）的单调增区间为：[kπ-，kπ+]．（k∈Z）

解析

解：（1）化简可得f（x）=sinx（cosx-sinx）

=sixcosx-sin2x=sin2x-（1-cos2x）

=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-

∴函数f（x）的最小正周期T==π；

（2）将函数y=sin2x的图象向左平移a（0＜a＜）个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象

∴f（x）=sin（2x+2a）-b，比较f（x）=sin（2x+）-可得a=，b=；

（3）由2kπ-≤2x+≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+，

∴函数f（x）的单调增区间为：[kπ-，kπ+]．（k∈Z）

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