圆的方程
共2177题

圆的方程
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题型：简答题

简答题

四、选考题（本题满分10分，请从所给的三道题中任选一题做答，并在答题卡上填写所选题目的题号，如果多做，则按所做的第一题记分．）

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点

（Ⅰ）证明：△ABE∽△ADC；

（Ⅱ）若△ABC的面积，求的大小.

正确答案

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC. …5分

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，

即AB·AC＝AD·AE.

又S＝AB·AC·sin∠BAC，且S＝AD·AE，

故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°. …10分

略

题型：填空题

填空题

我们把形如y=(a＞0，b＞0)的函数称为“莫言函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心，凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当a=1，b=1时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值______．

正确答案

当a=1且b=1时，函数“莫言函数”为y=

图象与y轴交于（0，-1）点，则“莫言点”坐标为（0，1）．

令“莫言圆”的标准方程为x2+（y-1）2=r2，

令“莫言圆”与函数y=图象的左右两支相切，

则可得切点坐标为（，）和（-，），

此时“莫言圆”的半径r==；

令“莫言圆”与函数y=图象的下支相切，此时切点坐标为（0，-1）．

此时“莫言圆”的半径r=2；

故所有的“莫言圆”中，面积的最小值为3π．

故答案为：3π．

题型：填空题

填空题

已知点A（3，1），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．

正确答案

∵A（3，1），B（5，3）

∴线段AB的中点C坐标为（4，2）

又∵|AB|==2

∴所求圆的半径R=|AB|=

因此，以线段AB为直径的圆的标准方程为（x-4）2+（y-2）2=2

故答案为：（x-4）2+（y-2）2=2

题型：简答题

简答题

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D。

（I）求证：

（II）若，⊙O的半径为1，

且P为弧的中点，求AD的长。

正确答案

见解析

题型：填空题

填空题

如图，已知是圆的直径，，为圆上任意一点，过点做圆的切线分别与过两点的切线交于点，则________________．

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知向量，若向量的夹角为，则直线与圆的位置关系是 .

正确答案

相离

略

题型：简答题

简答题

如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,

为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,

（1）求的长度.

（2）若圆F且与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度

正确答案

（1）3 （2）

（1）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

结合题中条件弧长等于弧长可得,

又,,

从而,故∽,∴, ………

由割线定理知,故.…………

（2）若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，因为即

所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

则，即 ………

题型：填空题

填空题

经过A（0，1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的标准方程是______．

正确答案

设圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，

∵该圆经过A（0，1），

∴a2+（1-b）2=r2，①

∵圆心在直线y=-2x上，

∴b=-2a②，

又直线x+y=1与该圆相切，

∴r=．③

由①②③得：a=-，b=，r=，

∴圆的标准方程是(x+

)2+(y-

)2=．

故答案为：(x+

)2+(y-

)2=．

题型：填空题

填空题

以（2，-1）为圆心，为半径的圆的方程是______．

正确答案

因为要求以（2，-1）为圆心，为半径的圆，

所以圆的标准方程为：（x-2）2+（y+1）2=2．

故答案为：（x-2）2+（y+1）2=2．

题型：填空题

填空题

曲线C：y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当a=1,b=1时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为________.

正确答案

3π

因为曲线C：y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,所以当a=1,b=1时望圆的方程可设为x2+(y-1)2=r2,面积最小的“望圆”的半径为(0,1)到y=上任意点之间的最小距离,d2=x2+=x2+=(|x|-1)2++2(|x|-1)-+2≥3,所以半径r≥,最小面积为3π.

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