- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
若直线l⊂平面α，点A∉α，点B∈α，B∉l，则直线AB与l的位置关系是______．
正确答案
异面
解析
解：直线AB与l的位置关系是异面，可以用反证法进行证明：
设直线AB与l共面于β，则
∵点B∈AB，AB⊂β，∴点B∈β
∵点B∉l，且l⊂β，∴平面β是由点B和l确定的平面
由此可得平面β与平面α重合
∵A∈β，∴A∈α，这与题设“点A∉α”矛盾
因此假设不成立，可得直线AB与l异面
故答案为：异面
已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A、B，∵如图，由图可知A，B不正确；
∵直线l⊥平面α，l∥β，∴α⊥β，
对于C，∵m⊂平面β，∴m与α不一定垂直，C不正确．
对于D，∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，D正确；
故选：D．
异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
正确答案
解析
解：∵异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，α∩β=l，
∴a与l共面，b与l共面，
a可以与l平行或相交，b可以与l平行或相交，
但是一定不能同时平行，若两条直线与l同时平行，
则a，b平行，与两条直线是异面直线矛盾，
∴l至少与a，b中的一条相交，
故选B．
设a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β则α⊥β．
其中正确的命题是______（请把所有正确命题的序号都填上）．
正确答案
①③④
解析
解：①根平面的法向量垂直的直线平行或在平面内，所以正确
②若a∥α，α⊥β，则a有可能平行与平面β，故不正确
③若a⊥β，α⊥β，则a平行于α或a在平面α内，故正确
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，即两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，故正确
故答案为①③④
如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：AB⊥BC．
正确答案
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC，
又∵BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC，
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PA，
又∵AD∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，
又∵AB⊂平面PAB，
∴BC⊥AB
解析
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC，
又∵BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC，
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PA，
又∵AD∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，
又∵AB⊂平面PAB，
∴BC⊥AB
已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b且直线a⊥c”的（ ）
正确答案
解析
解：∵b，c是平面α内的两条直线，直线a⊥α，∴直线a⊥b且直线a⊥c，即充分性成立；
b，c是平面α内的两条直线，直线a⊥b且直线a⊥c，当b，c相交时，直线a⊥α，即必要性不成立
∴直线a⊥α是直线a⊥b且直线a⊥c的充分不必要条件
故选A．
若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．
故A、B、C错误．
故选：D．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l有______条．
正确答案
3
解析
解：
因为∠CAD1=60°，∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求．
因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，
将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和AD1所成的角都等于 60°；
故符合条件的直线有3条．
故答案为：3．
设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则m∥α的一个充分条件是（ ）
正确答案
解析
解：A：若α∥β且m⊂β则由面面平行的性质定理可得m∥α，反之不成立．故A正确．
B：若α∩β=n且m∥n则由线面的位置关系可得直线m可能与平面α平行也有可能在平面α内，所以B错误．
C：若α⊥β且m⊥β由线面的位置关系可得m∥α或者m⊂α，所以不具有充分性，所以C错误．
D：若m∥n且n∥α则由线面的位置关系可得m∥α或者m⊂α，所以不具有充分性，所以D错误．
故选A．
直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：如图所示：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
取棱AA1为直线l，则l⊥AB，l⊥CD．
①若取棱D1D为直线m，则m⊥AD，m⊥BC，满足条件，此时m∥l；
②过点A作AM⊥BC，∵AD∥BC，∴AM⊥AD，取直线AM为m，则满足条件，此时l与m相交；
③过线段AD上除去点A以外的点E作EF∥AM，则EF⊥AD，EF⊥BC，取EF为直线m，则满足条件，此时l与m为异面直线．
综上可知：l与m的位置关系是平行、相交或异面直线，因此其位置关系不确定．
故选D．
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