空间点、直线、平面之间的位置关系
共3243题

空间点、直线、平面之间的位置关系
共3243题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：单选题

单选题

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线，AC和A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（　　）

A相交但不垂直

B垂直

C异面

D平行

正确答案

解析

解：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1

所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）

所以 =（-1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，1）

所以 •=-1+1=0 所以A1D⊥BD1，

•=1-1=0 所以AC⊥BD1，

所以BD1与A1D和AC都垂直

又∵EF是AC、A1D的公垂线，

∴BD1∥EF

故选D

题型：单选题

单选题

正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是AC、A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（　　）

A异面

B平行

C垂直

D相交

正确答案

解析

解：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1

所以就有D1（0，0，0），B（1，1，1），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）

所以=（-1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，-1）

所以•=-1+1=0 所以A1D⊥BD1，

•=1-1=0 所以AC⊥BD1，

所以BD1与A1D和AC都垂直

又∵EF是AC、A1D的公垂线，

∴BD1∥EF

故选B

题型：简答题

简答题

如图PA⊥正方ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB、PC、PD于E、F、G求证：AE⊥PB．

正确答案

证明：PA⊥正方ABCD所在平面，

则PA⊥BC，

又正方形ABCD中，BC⊥AB，

则BC⊥平面PAB，且AE⊂平面PAB，

则BC⊥AE，

又PC⊥平面AEFG，

则PC⊥AE，

则AE⊥平面PBC，

则有AE⊥PB．

解析

证明：PA⊥正方ABCD所在平面，

则PA⊥BC，

又正方形ABCD中，BC⊥AB，

则BC⊥平面PAB，且AE⊂平面PAB，

则BC⊥AE，

又PC⊥平面AEFG，

则PC⊥AE，

则AE⊥平面PBC，

则有AE⊥PB．

题型：单选题

单选题

垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）

A平行

B相交

C异面

D以上都有可能

正确答案

解析

解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；

②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．

故选D

题型：单选题

单选题

（2015秋•南城县校级期中）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（　　）

AEF与BB1垂直

BEF与BD垂直

CEF与CD异面

DEF与A1C1异面

正确答案

解析

解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF∥AC，并且EF=AC，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，

所以EF与BB1垂直；

又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．

故选：D．

题型：填空题

填空题

没有公共点的两条直线a、b与平面 α 所成角都相等，则直线a、b的位置关系是______．

正确答案

平行或异面

解析

解：∵直线a，b平行时，它们与平面 α 所成角必定相等，∴直线a、b可以为平行直线．

当直线a，b是异面直线时，如图，，过a上的一点A作b的平行线b′，

则当∠E=∠F时，直线a与b′与平面α所称角相等．

∵b∥b′，∴直线b，b′与平面α所成角相等，

∴直线a，b是异面直线时，也可以与平面α所成角相等，

∴直线a、b的位置关系是平行或异面．

故答案为：平行或异面

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．

（1）证明：直线BE∥平面PAD；

（2）若直线BE⊥平面PCD．

①求PA的长；

②求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

正确答案

（1）证明：设PA=b，建立如图所示空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，b），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，）．…（2分）

=（0，1，），平面PAD的法向量为=（1，0，0），

∴=0，…（5分）

又BE⊄平面PAD，

∴直线BE∥平面PAD．…（7分）

（2）解：①∵直线BE⊥平面PCD，

∴BE⊥PC，即=0．…（8分）

又=（2，2，-b），

∴=2-=0，…（9分）

即b=2，∴PA的长为2．…（10分）

②=（0，2，-2），=（1，2，0），…（11分）

∴cos＜，＞==，…（13分）

∴异面直线PD与BC所成角的余弦值为．…（14分）

解析

（1）证明：设PA=b，建立如图所示空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，b），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，）．…（2分）

=（0，1，），平面PAD的法向量为=（1，0，0），

∴=0，…（5分）

又BE⊄平面PAD，

∴直线BE∥平面PAD．…（7分）

（2）解：①∵直线BE⊥平面PCD，

∴BE⊥PC，即=0．…（8分）

又=（2，2，-b），

∴=2-=0，…（9分）

即b=2，∴PA的长为2．…（10分）

②=（0，2，-2），=（1，2，0），…（11分）

∴cos＜，＞==，…（13分）

∴异面直线PD与BC所成角的余弦值为．…（14分）

题型：单选题

单选题

设空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，下列命题中真命题是（　　）

Aa⊥c

Bb⊥d

Cb∥d或a∥c

Db∥d且a∥c

正确答案

解析

解：若bd不平行过d上一点，作b′∥b，则

∵b⊥c，c⊥d，∴c垂直d与b′确定的平面，

∵a⊥b，d⊥a，∴a也垂直d与b′确定的平面，

则a∥c

同时，当a，c不平行时，b∥d

故选C

题型：单选题

单选题

用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（　　）

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥y，b∥y，则a∥b；

④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．

A①②

B②③

C①④

D③④

正确答案

解析

解：根据平行直线的传递性可知①正确；

在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；

③中a、b还可以相交；

④是真命题，

故答案应选：C

题型：填空题

填空题

AC′是正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线，选取正方体的某三条棱的中点M，N，P组成三角形，使△MNP所在的平面垂直于AC′．满足上述条件的不同的△MNP一共有______个．

正确答案

解析

解：由题意，连结DB，AC，

∵M，N分别为中点，

∴MN∥BD，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，

∵AA′⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴AA′⊥BD，

∵AA′∩AC=A，

∴BD⊥平面AC′，

∴BD⊥AC′，

∵MN∥BD，

∴AC′⊥MN，

同理可证AC′⊥MF，AC′⊥NF，

∵MF∩NF=F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，

∴AC′⊥平面MNF，故①正确．

④中由①中证明可知AC′⊥MP，

∵MN∥BD，BD⊥AC′，

∴AC′⊥MN，

∴AC′⊥平面MNP，

同理可证明⑤中AC′⊥平面MNP，

∴满足上述条件的不同的△MNP一共有3个．

故答案为：3．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 直线、平面平行的判定及其性质

百度题库 > 高考 > 数学 > 空间点、直线、平面之间的位置关系

扫码查看完整答案与解析