- 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 共3243题
正确答案
证明：假设AC，BD不是异面直线，
那么它们在同一个平面上，记这个平面为p，且α，β，l交于p．
∵C∈β，C∈p，
∴C∈l，矛盾．
∴假设不成立，
∴AC，BD是异面直线．
解析
证明：假设AC，BD不是异面直线，
那么它们在同一个平面上，记这个平面为p，且α，β，l交于p．
∵C∈β，C∈p，
∴C∈l，矛盾．
∴假设不成立，
∴AC，BD是异面直线．
关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
③若m⊂α，n⊂β且α⊥β，则m⊥n；
④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．
其中假命题有（ ）
正确答案
解析
平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；
EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ=P；
A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．
综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，
则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故①为假命题；
当m⊂β时，则m⊥n，故②为假命题；
∵m⊂α，n⊂β，且α⊥β，∴根据当m⊥β，可以推出直线m垂直于β内的所有条件，可以得到垂直与直线n，故③为假命题；
由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，
且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故④正确
故选：C．
已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定（ ）
正确答案
解析
解：∵异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c
∴直线c与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B错误；
如果c与a，b均不相交，则直线c与a，b均平行，∴a∥b，与a，b异面矛盾，故C正确，D不正确；
故选C．
直线a⊥平面α，直线b∥平面α，则直线a、b的关系是（ ）
正确答案
解析
过b作一个平面β交α于c，则b∥c，
又直线a⊥平面α，c⊂α，∴a⊥c，
∴a⊥b，
所以直线a，b的位置关系是 垂直．
故选B．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有______条．
正确答案
4
解析
故答案为：4．
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是______．
①
正确答案
②③
解析
根据面面垂直的判定定理可知②正确
根据线面垂直的性质定理可知③正确
面A1C1∥面AC，B1C1⊂面A1C1，AB⊂面AC，而B1C1与AB不平行，故不正确
故选②③
空间中，垂直于同一条直线的两条直线（ ）
正确答案
解析
解：在空间，垂直于同一条直线的两条直线，有可能平行，相交或者异面；如图长方体中
直线a，b都与c垂直，a，b相交；
直线a，d都与c垂直，a，d异面；
直线d，b都与c垂直，b，d平行．
故选D．
正确答案
异面
解析
由图可知，直线AB与直线CD为异面直线．
故直线AB与直线CD的位置关系是 异面
故答案为：异面
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大小．
正确答案
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线，
PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD．
（II）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形，
∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC，
AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（III）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，
连接PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM．
∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角．
∵E为AB的中点，AE∥CD，∴AM=AD=2．
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得EM2=AM2+AE2-2AM•AEcos120°=7，
∴
∴
∴
∴二面角P-EC-D的大小为arctan
解析
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线，
PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD．
（II）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形，
∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC，
AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（III）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，
连接PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM．
∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角．
∵E为AB的中点，AE∥CD，∴AM=AD=2．
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得EM2=AM2+AE2-2AM•AEcos120°=7，
∴
∴
∴
∴二面角P-EC-D的大小为arctan
求证：
（1）AA1⊥BD；
（2）BB1∥DD1．
正确答案
∵△ABD中，AB=AD，E为BD中点
∴AE⊥BD，同理可得A1E⊥BD，
∵AE、A1E⊂平面A1AE，AE∩A1E=E
∴BD⊥平面A1AE，
∵AA1⊂平面A1AE，∴AA1⊥BD；
（2）∵AA1∥CC1，AA1⊂平面AA1B1B，CC1⊄平面AA1B1B，
∴CC1∥平面AA1B1B
∵CC1⊂平面CC1B1B，平面CC1B1B∩平面AA1B1B=BB1
∴BB1∥CC1，同理可得DD1∥CC1，
∴BB1∥DD1．
解析
∵△ABD中，AB=AD，E为BD中点
∴AE⊥BD，同理可得A1E⊥BD，
∵AE、A1E⊂平面A1AE，AE∩A1E=E
∴BD⊥平面A1AE，
∵AA1⊂平面A1AE，∴AA1⊥BD；
（2）∵AA1∥CC1，AA1⊂平面AA1B1B，CC1⊄平面AA1B1B，
∴CC1∥平面AA1B1B
∵CC1⊂平面CC1B1B，平面CC1B1B∩平面AA1B1B=BB1
∴BB1∥CC1，同理可得DD1∥CC1，
∴BB1∥DD1．
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