简单的线性规划_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

12．已知，当时不等式恒成立，则实数的最大值是____________．

正确答案

解析

作出函数的图像如下：

由图可知函数在整个定义域上单调递减．

∴当时,

不等式恒成立

在上恒成立

在上的最大值

∴实数的最大值为．

考查方向

本题考查了函数的基本性质以及恒成立问题，属于中档题．恒成立问题转化为求最值问题，在近几年的各省高考题出现的频率较高．

解题思路

作出函数的图像，得到函数的单调性，利用单调性，将当时不等式恒成立转化为在上恒成立，然后转化为在上的最大值，从而求得符合要求的实数的最大值．

易错点

1．利用函数的单调性，将当时不等式恒成立转化为在上恒成立问题，不容易理解；函数单调递减，不等号方向要发生改变容易遗忘；2．在上恒成立转化为在上的最大值，不容易理解．

知识点

不等式恒成立问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数f（x）＝x＋，g（x）＝＋a，若∈[，1]，∈[2，3]，使得

f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是

Aa≤1

Ba≥1

Ca≤2

Da≥2

正确答案

A

解析

f（x）min=f（1）=5, g（x）min = g（2）=4+a,得a≤1。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查函数的值域

解题思路

1、求出f（x）在[，1]上的最小值，g（x）在[2,3]上的最小值；

2、求出f（x）min≥g（x）min，即可得到结果。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

本题易在判断范围大小时发生错误。

知识点

指数函数的图像与性质导数的运算不等式恒成立问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．不等式对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（）

A≤

B≥

C≤

D≤

正确答案

A

解析

2x^2-axy+y^2>=0对任意x∈[1,2],y∈[1,3]恒成立，等价于：a<=2x/y+y/x ① 对任意x∈[1,2],y∈[1,3]恒成立，设t=x/y,x∈[1,2],y∈[1,3],则t∈[1/3,2], ①变为a<=2t+1/t,记为f(t), t=1/√2时f(t)取最小值，∴a<=。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查不等式的应用

解题思路

1、分离参数；

2、利用基本不等式求解，即可得到结果。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

本题易在分离参数时发生错误。

知识点

不等式恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数．

（Ⅰ）若时，都有解，求的取值范围；

（Ⅱ）若，试证明：对任意，恒成立．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）由得，令，

，，所以在上单调递减，又当趋向于时，

趋向于正无穷大，故，即．

（Ⅱ）由，得，令，

所以，，

因此，对任意，等价于，

由，，得，，

因此，当时，，单调递增；时，，单调递减，所以的最大值为，故，

设，，所以时，，

单调递增，，

故时，，即，

所以．

因此，对任意，恒成立

考查方向

本题考查了利用导数求参数的取值范围，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：1、根据判别式讨论；2、根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等．

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、求导，然后解导数不等式。

2、对参数分类讨论证得结论。

易错点

第二问中的易丢对x的分类讨论。

知识点

导数的运算不等式恒成立问题不等式的证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15. 已知函数 (a∈R)，若对于任意，f(x)≥4恒成立，则a的取值范围是________.

正确答案

[-8，＋∞)

解析

由已知得，，即，对于任意恒成立，

从而，，因为，所以。

考查方向

本题考查了不等式恒成立的问题及基本不等式的应用等知识。

解题思路

（1）分离变量。

（2）求最值。

易错点

对于恒成立的问题不能转化为最值问题解决。

知识点

二次函数的图象和性质不等式恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

21.已知函数 f(x)=ln(x+1)-x .

(1)求f(x)的单调区间,

(2)若k∈Z，且f(x-1)+x＞k (1-3 )对任意x＞1恒成立，求k的最大值,

(3)对于在区间（0，1)上的任意一个常数a，是否存在正数x。，使得ef(x0 ) ＜ 1 -x成立？请说明理由.

正确答案

（1）f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是（0，+∞）；

（2）4；

（3）存在正数x。

解析

考查方向

本题考查了利用导数求单调区间，导数与不等式综合应用求恒成立问题和存在性问题

解题思路

易错点

1、第二问中的易丢对K的分类讨论。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算不等式恒成立问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x + 2) = f (x)，当 x ∈ [0,2)时，f (x)= , 函数g（x)=x2+3x2+m, 若s ∈ [ - 4，-2)，t∈ [ - 4，-2)，不等式f(s)—g(t)≥0成立，则实数m的取值范围是（）

A(，-12]

B( ，-4]

C( ，8]

D（，]

正确答案

C

解析

∵当时，，

∴，为最大值

∵

∵当时，∴ ∴

∵s ∈ [ - 4，-2)， ∴∵∴

∵ ∴∵s ∈ [ - 4，-2)，∴

∵函数在单调递增，在单调递增，

∴t∈ [ - 4，-2)，∵不等式f(s)—g(t)≥0成立， ∴

考查方向

本题主要考查函数与不等式综合应用

解题思路

由得，，，s ∈ [ - 4，-2)，∴借助导数判断：t∈ [ - 4，-2)，，借助不等式求出

易错点

分段函数如何转化求出最值

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象不等式恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数（为自然对数的底数，为常数）在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）求的值及函数的极值；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．

正确答案

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）见解析

解析

（Ⅰ）解,由，得．

因为,所以．

所以，．

令,得．

当时, 单调递减；当时, 单调递增．

所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值．

（Ⅱ）证明,令,则．

由（Ⅰ）得,故在R上单调递增．

所以当时，，即．

（Ⅲ）证明一,①若,则．

由（Ⅱ）知，当时，．所以当时, ．

取,当时，恒有．

②若,令,

要使不等式成立，只要成立．

而要使成立，则只要,只要成立．

令,则．

所以当时, 在内单调递增．

取,所以在内单调递增．

又，

易知．

所以．即存在,当时，恒有．

综上，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

证明二,对任意给定的正数，取，

由（Ⅱ）知，当时，，所以．

当时，．

因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

证明三,首先证明当时，恒有．

令，则．

由（Ⅱ）知，当时，，

从而，在上单调递减。

所以，即．

取，当时，有．

因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

考查方向

本题考查导数与函数极值问题。

解题思路

易错点

第一问建议做出极值表便于观察，防止出错；

第二问忽略证明第一问时得到的结论。

知识点

导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

12.已知，

当时不等式恒成立，

则实数的最小值是________________.

正确答案

4

解析

函数在区间上单调递减，

且在分界处函数值相等，

所以在上单调递减，

因为，

所以在区间上恒成立，

所以。

考查方向

本题主要考查了分段函数的单调性和函数不等式的解法。在近几年的高考中出现的频率较高。

解题思路

本题考查分段函数的性质，先要判断它的单调性，再根据函数值的大小比较自变量的大小求解函数不等式。

易错点

本题必须注意分段函数端点处函数值大小的比较，此类题目通常还需要注意复合函数的定义域，忽视则会出现错误。

知识点

不等式恒成立问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知函数.

（1）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（2）证明：.

正确答案

（1）；

（2）见解析．

解析

试题分析：本题属于导数与函数最值的关系、不等式恒成立问题等知识点的综合应用问题，属于拔高题，第二问不容易得分，解析如下：

（1）解：由有：，

即：，令，

，解得x=1，

在(0,1)上，；在上，.

所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即

（2）证明：由（1）知，当k=1时，，当且仅当x=1时，取等号.

令，有，

所以有：，，...，，

累加得：.

考查方向

本题考查了导数与函数最值的关系、不等式恒成立问题等知识点。

解题思路

由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数的符号能够确定为正或为负．

易错点

知识点

导数的运算不等式恒成立问题

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

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易错点

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点