直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，-1）．

（1）求椭圆C2的方程；

（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（1）椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），

则c=，即有a2-b2=5，①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，

两式相减的，+=0，

由于x1+x2=4，y1+y2=-2，

则有kAB===1，②

由①②解得，a=，b=．

则椭圆C2的方程为=1；

（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

则 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，

由=+2，

可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴，

∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2

=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴=-，即kOM•kON=-，

∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为-．

解析

解：（1）椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），

则c=，即有a2-b2=5，①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，

两式相减的，+=0，

由于x1+x2=4，y1+y2=-2，

则有kAB===1，②

由①②解得，a=，b=．

则椭圆C2的方程为=1；

（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

则 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，

由=+2，

可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

∴，

∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2

=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=10+4（x1x2+2y1y2）=10．

∴x1x2+2y1y2=0，

∴=-，即kOM•kON=-，

∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为-．

题型：单选题

单选题

若实数a，b，c使得函数f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率e1，e2，e3，则a，b，c的一种可能取值依次为（　　）

A-2，-1，2

B2，0，-2

正确答案

解析

解：抛物线的离心率为1，将1代入得到1+a+b+c=0，

∴c=-a-b-1，代入方程得x3+ax2+bx-a-b-1=0．

分解得（x-1）[x2+（a+1）x+a+b+1]=0．

于是方程另两根满足x2+（a+1）x+a+b+1=0，由已知得此方程的两根一个大于1，另一个大于0而小于1．

设g（x）=x2+（a+1）x+a+b+1，则 g（0）＞0且g（1）＜0，

即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，所以-（a+b+1）＜0 与 2a+b+3＜0

相加得a＜-2．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线C有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．

正确答案

解：（1）设双曲线的方程为，

由题意知，，∴b2=c2-a2=1，解得b=1，

故双曲线方程为．

（2）将代入，得

由得，且k2＜1，，，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，

得==，得．

又k2＜1，∴，解得，

所以k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．

解析

解：（1）设双曲线的方程为，

由题意知，，∴b2=c2-a2=1，解得b=1，

故双曲线方程为．

（2）将代入，得

由得，且k2＜1，，，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，

得==，得．

又k2＜1，∴，解得，

所以k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．

题型：单选题

单选题

设双曲线M：-y2=1，点C（0，1），若直线（t为参数）交双曲线的两渐近线于点A、B，且=2，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：因为直线（t为参数）的一般方程为y=x+1，双曲线的两渐近线方程为y=x，y=-x，

联立⇒，即A（，

联立⇒，即B（）．

所以，=（），

又因为⇒-=2×（-）⇒a=-．

所以离心率e==．

故选D．

题型：简答题

简答题

已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N．

（1）若A（-2，0），求直线l1，l2的方程；

（2）①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；

②求△AMN面积的取值范围．

正确答案

（1）解：设直线的方程为y=k（x+2），代入椭圆，消去y，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2-3=0

由△=0，可得k2-1=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1=-1，k2=1

∴直线l1，l2的方程分别为y=-x-2，y=x+2；

（2）①证明：当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1无斜率

∵l1与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x=±

当l1的方程为x=时，此时l1与圆的交点坐标为（，±1），所以l2的方程为y=1（或y=-1），l1⊥l2成立，

同理可证，当l1的方程为x=-时，结论成立；

当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A（m，n），且m2+n2=4

设方程为y=k（x-m）+n，代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0

由△=0化简整理得（3-m2）k2+2mnk+1-n2=0

∵m2+n2=4

∴（3-m2）k2+2mnk+m2-3=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1，∴l1⊥l2成立

综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；

②记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，

∵=4，∴△AMN面积S2==4=-4+16

∵，∴S2∈[12，16]

∴S∈[2，4]．

解析

（1）解：设直线的方程为y=k（x+2），代入椭圆，消去y，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2-3=0

由△=0，可得k2-1=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1=-1，k2=1

∴直线l1，l2的方程分别为y=-x-2，y=x+2；

（2）①证明：当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1无斜率

∵l1与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x=±

当l1的方程为x=时，此时l1与圆的交点坐标为（，±1），所以l2的方程为y=1（或y=-1），l1⊥l2成立，

同理可证，当l1的方程为x=-时，结论成立；

当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A（m，n），且m2+n2=4

设方程为y=k（x-m）+n，代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0

由△=0化简整理得（3-m2）k2+2mnk+1-n2=0

∵m2+n2=4

∴（3-m2）k2+2mnk+m2-3=0

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1，∴l1⊥l2成立

综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；

②记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，

∵=4，∴△AMN面积S2==4=-4+16

∵，∴S2∈[12，16]

∴S∈[2，4]．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析