直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

（2011春•长沙校级期末）已知点A（1，1）是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．

正确答案

解：（1）∵A（1，1）是椭圆上的一点，F1、F2为两个焦点，

|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，a=2，（2分）

，

∴，∴，（4分）

∴．椭圆的方程为．（6分）

（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），

∵直线AC、AD的倾斜角互补，

∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）

由，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）

∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．

∴，同理，．（12分）

∴．

故直线CD的斜率为定值．（13分）

解析

解：（1）∵A（1，1）是椭圆上的一点，F1、F2为两个焦点，

|AF1|+|AF2|=4，

∴2a=4，a=2，（2分）

，

∴，∴，（4分）

∴．椭圆的方程为．（6分）

（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），

∵直线AC、AD的倾斜角互补，

∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）

由，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）

∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．

∴，同理，．（12分）

∴．

故直线CD的斜率为定值．（13分）

题型：填空题

填空题

如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=______．

正确答案

解析

解：由题意可得，，

将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得

∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab-b2=0，

此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，

取，

从而，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C以原点O为顶点，其准线方程为x=-1，焦点为F．

①求抛物线C的标准方程；

②过点P（-1，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点．

（ⅰ）证明：为定值；

（ⅱ）点A关于x轴的对称点为D，证明：点F在直线BD上．

正确答案

解：①∵抛物线C以原点O为顶点，其准线方程为x=-1，∴，∴焦点F（1，0）．

∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（x≥0）．

②（i）如图所示：可设直线l的方程为my=x+1，交点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立消去x得y2-4my+4=0，

∵直线l与抛物线由两个交点，∴△=16m2-16＞0，∴m2＞1．（*）

∴y1+y2=4m，y1y2=4．

又∵x=my-1，∴x1x2=（my1-1）（my2-1）=m2y1y2-m（y1+y2）+1．

∴=x1x2+y1y2=（m2+1）y1y2-m（y1+y2）+1=4（m2+1）-4m2+1=5为定值．

（ii）证明：∵点A关于x轴的对称点为D，∴D（x1，-y1）．

∴=（x2-1，y2），=（x1-1，-y1），

∵y2（x1-1）+y1（x2-1）=y2（my1-2）+y1（my2-2）

=2my1y2-2（y1+y2）

=8m-8m=0．

∴存在实数λ，使得，即三点B、F、D共线．

解析

解：①∵抛物线C以原点O为顶点，其准线方程为x=-1，∴，∴焦点F（1，0）．

∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（x≥0）．

②（i）如图所示：可设直线l的方程为my=x+1，交点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立消去x得y2-4my+4=0，

∵直线l与抛物线由两个交点，∴△=16m2-16＞0，∴m2＞1．（*）

∴y1+y2=4m，y1y2=4．

又∵x=my-1，∴x1x2=（my1-1）（my2-1）=m2y1y2-m（y1+y2）+1．

∴=x1x2+y1y2=（m2+1）y1y2-m（y1+y2）+1=4（m2+1）-4m2+1=5为定值．

（ii）证明：∵点A关于x轴的对称点为D，∴D（x1，-y1）．

∴=（x2-1，y2），=（x1-1，-y1），

∵y2（x1-1）+y1（x2-1）=y2（my1-2）+y1（my2-2）

=2my1y2-2（y1+y2）

=8m-8m=0．

∴存在实数λ，使得，即三点B、F、D共线．

题型：填空题

填空题

椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为______，直线方程为______．

正确答案

2x+3y-12=0

解析

解：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=6，y1+y2=4，

①，=144②，

①-②得，+9=0，即4（x1+x2）（x1-x2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0，

所以==，即，

所以弦所在直线方程为：y-2=-（x-3），即2x+3y-12=0．

故答案为：-；2x+3y-12=0．

题型：简答题

简答题

过椭圆+y2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于点A、B两点，椭圆的中心为O，当△AOB面积最大时，求直线l的方程．

正确答案

解：∵椭圆+y2=1，∴一个焦点F（1，0），

（1）设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）

y=k（x-1），且椭圆+y2=1，

可得：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

x1+x2=，x1．x2=

|AB|=，O到直线的距离为h=，

△AOB面积为：×=

（2）当k不存时，A（1，），B（1，），或A（-1，），B（-1，），

△AOB面积都为

当△AOB面积最大时，k不存在，

所以当△AOB面积最大时，直线l的方程：x=1，x=-1

解析

解：∵椭圆+y2=1，∴一个焦点F（1，0），

（1）设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）

y=k（x-1），且椭圆+y2=1，

可得：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，

x1+x2=，x1．x2=

|AB|=，O到直线的距离为h=，

△AOB面积为：×=

（2）当k不存时，A（1，），B（1，），或A（-1，），B（-1，），

△AOB面积都为

当△AOB面积最大时，k不存在，

所以当△AOB面积最大时，直线l的方程：x=1，x=-1

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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