直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得 ①

由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=

故椭圆的方程为

（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）③

代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=， ④

在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），

从而，，=k-

注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k

所以k1+k2=+=+-（+）

=2k-× ⑤

④代入⑤得k1+k2=2k-×=2k-1

又k3=k-，所以k1+k2=2k3

故存在常数λ=2符合题意

方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为

令x=4，求得M（4，）

从而直线PM的斜率为k3=，

联立，得A（，），

则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=

所以k1+k2=+=2×=2k3，

故存在常数λ=2符合题意

解析

解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得 ①

由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=

故椭圆的方程为

（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）③

代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

x1+x2=， ④

在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），

从而，，=k-

注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k

所以k1+k2=+=+-（+）

=2k-× ⑤

④代入⑤得k1+k2=2k-×=2k-1

又k3=k-，所以k1+k2=2k3

故存在常数λ=2符合题意

方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为

令x=4，求得M（4，）

从而直线PM的斜率为k3=，

联立，得A（，），

则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=

所以k1+k2=+=2×=2k3，

故存在常数λ=2符合题意

题型：填空题

填空题

已知点F1，F2分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于点P，Q，若△PQF2是以∠Q为直角的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是______．

正确答案

解析

解：设|QF2|=m，Q在右支上，

由双曲线的定义可得，|QF1|-|QF2|=2a，

∴|QF1|=2a+|QF2|=2a+m，

又|QF1|=|PQ|+|PF1|=m+|PF1|，

∴|PF1|=2a，又|PF2|-|PF1|=2a，

∴|PF2|=4a，

在等腰直角△PQF2中，|PF2|=m=4a，

解得m=2a，

在Rt△F1QF2中，|QF1|2+|QF2|2=4c2，

即（2a+2a）2+（2a）2=4c2，

即c2=（5+2）a2，

∴e==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知椭圆（a＞1）的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）设A、B是抛物线C上两动点，过点M（1，2）的直线MA，MB与y轴交于点P、Q．△MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

正确答案

解：（1）由椭圆方程得半焦距=1，

∴椭圆焦点为F1（-1，0），F2（1，0）．

又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2，∴抛物线C的标准方程为：y2=4x．

（2）直线AB的斜率为定值-1．

证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵M（1，2），A、B在抛物线y2=4x上，∴

由①-③得， ④

由②-③得， ⑤

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=-kMB

由kMA=-kMB得化简整理，

得

上两式相减得：4（y1-y2）=-4（x1-x2），∴=为定值．

解法二：设，，

则=，，

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=-kMB

即

∴

由y1+y2+4=0得 y1+y2=-4．

∴====-1．

∴直线AB的斜率为定值-1．

解析

解：（1）由椭圆方程得半焦距=1，

∴椭圆焦点为F1（-1，0），F2（1，0）．

又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2，∴抛物线C的标准方程为：y2=4x．

（2）直线AB的斜率为定值-1．

证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵M（1，2），A、B在抛物线y2=4x上，∴

由①-③得， ④

由②-③得， ⑤

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=-kMB

由kMA=-kMB得化简整理，

得

上两式相减得：4（y1-y2）=-4（x1-x2），∴=为定值．

解法二：设，，

则=，，

∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=-kMB

即

∴

由y1+y2+4=0得 y1+y2=-4．

∴====-1．

∴直线AB的斜率为定值-1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．

正确答案

解：（1）由题意可得，解得，

∴椭圆的方程为=1．

（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（-4，y0）．

联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，

△＞0．

，，（*）

∵，∴（-1-x1，-y1）=λ（x2+1，y2），可得-（x1+1）=λ（x2+1）．

得．

由=μ，可得（-4-x1，y0-y1）=μ（x2+4，y2-y0），可得-（x1+4）=μ（x1+4），

得．

∴λ+μ=-=-，

把（*）代入分子=+8=0，

∴λ+μ=0．

解析

解：（1）由题意可得，解得，

∴椭圆的方程为=1．

（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（-4，y0）．

联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，

△＞0．

，，（*）

∵，∴（-1-x1，-y1）=λ（x2+1，y2），可得-（x1+1）=λ（x2+1）．

得．

由=μ，可得（-4-x1，y0-y1）=μ（x2+4，y2-y0），可得-（x1+4）=μ（x1+4），

得．

∴λ+μ=-=-，

把（*）代入分子=+8=0，

∴λ+μ=0．

题型：简答题

简答题

已知点P到（0，），（0，）的距离之和为4，设P的轨迹是C，并交直线y=kx+1于A、B两点

（1）求C的方程；

（2）若以AB为直径的圆过原点，求此时k的值．

正确答案

解：（1）根据椭圆的定义，得点P的轨迹是椭圆，且，2a=4，

∴a=2，

b2=a2-c2=1；

∴椭圆C的方程为：+x2=1；…（4分）

（2）依题意设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵以AB为直径的圆过O点，

∴，

∴x1x2+y1y2=0；…（6分）

直线方程与椭圆方程联立，

得，

消去y，得（4+k2）x2+2kx-3=0；

∴，…..（8分）

∴…（10分）

=；…（11分）

∴，…（12分）

∴．…（14分）

解析

解：（1）根据椭圆的定义，得点P的轨迹是椭圆，且，2a=4，

∴a=2，

b2=a2-c2=1；

∴椭圆C的方程为：+x2=1；…（4分）

（2）依题意设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵以AB为直径的圆过O点，

∴，

∴x1x2+y1y2=0；…（6分）

直线方程与椭圆方程联立，

得，

消去y，得（4+k2）x2+2kx-3=0；

∴，…..（8分）

∴…（10分）

=；…（11分）

∴，…（12分）

∴．…（14分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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