热门试卷

解：（1）设椭圆方程为

由离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4可得解得．

∴椭圆方程为．

（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零．

∵l1：y=kx+2，∴．

由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，

根据题意，△=（16k）2-16（3+4k2）＞0，解得．

同理得，

∴．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

那么，

∴，，

∴

同理得，即，

∴，

即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值．

解：（Ⅰ）由于抛物线y2=-4x的焦点为（-1，0），

设椭圆方程为=1（a＞b＞0），

易知c=1，又，得a=，于是有b==1

故椭圆C的标准方程为=1．                                                  

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+p，即kx-y+p=0，

于是点F1（-1，0），F2（1，0）到直线L的距离之积为

=1，即=1，即|p2-k2|=1+k2

若p2-k2=-k2-1，则p2=-1，矛盾，舍去．

若p2-k2=1+k2，则p2=1+2k2，

由，消去y，可得（1+2k2）x2+4px+2p2-2=0，

所以判别式△=16k2p2-4（1+2k2）（2p2-2）=8（1+2k2-p2）=8（p2-p2）=0，

即直线l与椭圆C相切，一定有唯一的公共点．

解：（1）∵椭圆长轴长为4，且点（1，）在该椭圆上，

∴2a=4，，

∴a=2，b=1，

∴椭圆标准方程为；

（2）直线y=x+1代入椭圆的标准方程，可得5x2+8x=0，

∴x=0或-1.6，

∴直线y=x+1与椭圆两个交点的坐标为（0，1）或（-1.6，-0.6）．

（Ⅰ）解：由题意可得：2a=4，a=2，又，c=，则，

∴椭圆的方程是；

（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），

若k存在，设直线OP的方程为l1：y=kx，

代入，得，

即，

∵∠PAQ=90°，以代换上式的k得，，

∴=．

若k不存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，|OP|2=4，|OQ|2=1．

则．

综上：．