直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

（1）已知椭圆=1，求以点P（4，2）为中点的弦所在的直线方程．

（2）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程．

正确答案

解：（1）设点P（4，2）为中点的弦AB的A（x1，y1），B（x2，y2），

则=1，=1，两式相减得，=0，

由于x1+x2=8，y1+y2=4，

则kAB==-=-，

即有直线AB：y-2=-（x-4），即y=-x+4．

检验：将直线AB方程，代入椭圆方程，得到x2-8x+14=0，判别式为8大于0，成立．

故所求直线方程为：y=-x+4；

（2）设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=mx，

联立直线y=2x+1，消去y，得，4x2+（4-m）x+1=0，

判别式为（4-m）2-16＞0，解得，m＞8或m＜0．

设弦的端点为C（x3，y3），D（x4，y4），

则x3+x4=，x3x4=，

即有弦长CD===，

解得，m=12或-4．检验判别式大于0，成立．

则所求抛物线的方程为：y2=12x，或y2=-4x．

解析

解：（1）设点P（4，2）为中点的弦AB的A（x1，y1），B（x2，y2），

则=1，=1，两式相减得，=0，

由于x1+x2=8，y1+y2=4，

则kAB==-=-，

即有直线AB：y-2=-（x-4），即y=-x+4．

检验：将直线AB方程，代入椭圆方程，得到x2-8x+14=0，判别式为8大于0，成立．

故所求直线方程为：y=-x+4；

（2）设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=mx，

联立直线y=2x+1，消去y，得，4x2+（4-m）x+1=0，

判别式为（4-m）2-16＞0，解得，m＞8或m＜0．

设弦的端点为C（x3，y3），D（x4，y4），

则x3+x4=，x3x4=，

即有弦长CD===，

解得，m=12或-4．检验判别式大于0，成立．

则所求抛物线的方程为：y2=12x，或y2=-4x．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C方程为，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为．

（1）求椭圆方程．

（2）已知A，B方程为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆在第一象限内的一点，l为点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M为以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：O，M，S三点共线．

正确答案

解：（1）设右焦点为（c，0），则过右焦点斜率为1的直线方程为：y=x-c

则原点到直线的距离=

∴c=1，a=

∴方程为；

（2）设直线AT方程为：y=k（x+）（k＞0），设点T（x1，y1），

联立，得．

∵，又∵A（），

∴．

又∵B（），∴．

由圆的性质得：BT⊥SM，

所以，要证明O，M，S三点共线，只要证明BT⊥SO即可．

又∵S点的横坐标为，

∴S点的坐标为．

∴．

即BT⊥SO，又∵BT⊥SM，

∴O，M，S三点共线．

解析

解：（1）设右焦点为（c，0），则过右焦点斜率为1的直线方程为：y=x-c

则原点到直线的距离=

∴c=1，a=

∴方程为；

（2）设直线AT方程为：y=k（x+）（k＞0），设点T（x1，y1），

联立，得．

∵，又∵A（），

∴．

又∵B（），∴．

由圆的性质得：BT⊥SM，

所以，要证明O，M，S三点共线，只要证明BT⊥SO即可．

又∵S点的横坐标为，

∴S点的坐标为．

∴．

即BT⊥SO，又∵BT⊥SM，

∴O，M，S三点共线．

题型：单选题

单选题

双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若=λ，且λ∈（，），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

A（1，]

B（，）

C（，）

D（，+∞）

正确答案

解析

解：由题意得l1：y=-，l2：y=，l：y=，

由l交双曲线C于R，令，解此方程组得R（）

故有=（）

由l交l1于M，令解此方程组得M（）

故有=（-）

由=λ，得（）=λ（-）

所以，整理得a2=（1-λ）c2，即e2=

又λ∈（，），

∴e2∈（2，3），即e∈（，）

故选B

题型：简答题

简答题

已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且离心率为．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB的面积．

正确答案

解：（I）设椭圆方程为，

因为椭圆与双曲线有相同焦点，

所以c=，再由e=可得a=2，∴b2=a2-c2=2，

故所求方程为；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由=2，得，

设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，

解得，

若，，

则-=2，

解得，

又△AOB的面积S=S△OAP+S△OBP====，

故所求△AOB的面积是．

解析

解：（I）设椭圆方程为，

因为椭圆与双曲线有相同焦点，

所以c=，再由e=可得a=2，∴b2=a2-c2=2，

故所求方程为；

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由=2，得，

设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得（2k2+1）x2+4kx-2=0，

解得，

若，，

则-=2，

解得，

又△AOB的面积S=S△OAP+S△OBP====，

故所求△AOB的面积是．

题型：填空题

填空题

直线y=kx+1与双曲线x2-=1只有一个交点，则k的取值范围是______．

正确答案

{-2，2，，}

解析

解：联立，得：（4-k2）x2-2kx-5=0 ①．

当4-k2=0，即k=±2时，方程①化为一次方程4x=5或4x=-5，

方程有一个实数根，直线y=kx+1与双曲线x2-=1只有一个交点，

当4-k2≠0时，要使直线y=kx+1与双曲线x2-=1只有一个交点，

则，解得：．

∴使直线y=kx+1与双曲线x2-=1只有一个交点的k的取值集合是{-2，2，，}．

故答案为：{-2，2，，}．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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