直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设|AF|=a，|BF|=b，则：

①若θ=60°且a＞b，则的值为______；②a+b=______（用p和θ表示）．

正确答案

或

解析

解：①过A、B两点向准线l作垂线AC、BD，由抛物线定义知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，

过B作BE⊥AC，E为垂足，∴|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，

又|AB|=|FA|+|FB|=a+b，∠BAE=∠AFx=60°．

在直角△AEB中，cos∠BAE=，所以cos60°=

∴a=3b

∴=3

②设直线方程为x=my+，代入抛物线y2=2px可得y2-2pmy-p2=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，∴x1+x2=2pm2+p

∴a+b=|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p

当θ≠时，∵，∴，∴a+b=|AB|=2pm2+2p==

当θ=时，|AB|=2p，结论同样成立

故答案为：3；

题型：简答题

简答题

（Ⅰ）一动圆与圆F1：x2+y2+6x+6=0相外切，与圆F2：x2+y2-6x-18=0相内切求动圆圆心的轨迹曲线E的方程，并说明它是什么曲线．

（Ⅱ）过点（-3，0）作一直线l与曲线E交与A，B两点，若|AB|=，求此时直线l的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为M（x，y），半径为r，

由内切和外切的几何意义得，．

∴．

∴所求轨迹为椭圆，且，则b2=3．

∴方程为；

（Ⅱ）设直线方程为y=k（x+3），直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，得（1+4k2）x2+24k2x+（36k2-12）=0①

．

∴

==．

解得：k=±1．

∴直线方程为y=±x+3．

解析

解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为M（x，y），半径为r，

由内切和外切的几何意义得，．

∴．

∴所求轨迹为椭圆，且，则b2=3．

∴方程为；

（Ⅱ）设直线方程为y=k（x+3），直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，得（1+4k2）x2+24k2x+（36k2-12）=0①

．

∴

==．

解得：k=±1．

∴直线方程为y=±x+3．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线相交于A，B两点，且AB中点坐标为，求m的取值范围．

正确答案

解：（1）取顶点A（a，0），渐近线，即bx-ay=0，则，化为．

联立，解得a=2，，b=1．

∴双曲线C的方程为．

（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线的方程联立，

化为（1-4k2）x2-8kmx-4m2-4=0，

∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且AB中点坐标为，

∴1-4k2≠0，△=64k2m2-4（1-4k2）（-4m2-4）＞0，

化为m2＞4k2-1．（*）

∴，∴，解得k=1．

代入（*）可得m2＞4-1=3，解得，或．

∴m的取值范围为．

解析

解：（1）取顶点A（a，0），渐近线，即bx-ay=0，则，化为．

联立，解得a=2，，b=1．

∴双曲线C的方程为．

（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线的方程联立，

化为（1-4k2）x2-8kmx-4m2-4=0，

∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且AB中点坐标为，

∴1-4k2≠0，△=64k2m2-4（1-4k2）（-4m2-4）＞0，

化为m2＞4k2-1．（*）

∴，∴，解得k=1．

代入（*）可得m2＞4-1=3，解得，或．

∴m的取值范围为．

题型：简答题

简答题

已知椭圆过点（0，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A，B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE|•|DF|恒为定值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可知，b=1，

又因为e=，且a2=b2+c2，

解得a=2，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意可得：A（-2，0），B（2，0）．设P（x0，y0），由题意可得：-2＜x0＜2，

所以直线AP的方程为，令，则，

即；

同理：直线BP的方程为，令，则，

即；

所以=

而，即4y02=4-x02，代入上式，

所以|DE|•|DF|=1，

所以|DE|•|DF|为定值1．

解析

解：（Ⅰ）由题意可知，b=1，

又因为e=，且a2=b2+c2，

解得a=2，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意可得：A（-2，0），B（2，0）．设P（x0，y0），由题意可得：-2＜x0＜2，

所以直线AP的方程为，令，则，

即；

同理：直线BP的方程为，令，则，

即；

所以=

而，即4y02=4-x02，代入上式，

所以|DE|•|DF|=1，

所以|DE|•|DF|为定值1．

题型：简答题

简答题

如图，椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系？

②在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，∴a=2．

又当△AF1F2面积最大时为正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，

∴椭圆E的方程为

（2）①由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0

由直线与椭圆相切得m≠0，△=0，⇒4k2-m2+3=0．

求得，Q（4，4k+m），PQ中点到x轴距离．

所以圆与x轴相交．

②假设平面内存在定点M满足条件，由对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0），．

由，得．

∴，即x1=1．

所以定点为M（1，0）．

解析

解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，∴a=2．

又当△AF1F2面积最大时为正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，

∴椭圆E的方程为

（2）①由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0

由直线与椭圆相切得m≠0，△=0，⇒4k2-m2+3=0．

求得，Q（4，4k+m），PQ中点到x轴距离．

所以圆与x轴相交．

②假设平面内存在定点M满足条件，由对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0），．

由，得．

∴，即x1=1．

所以定点为M（1，0）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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