直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．

正确答案

解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．

∴，

由得，

∴椭圆方程为．

（2）⇒5x2+12x+6=0．

△=122-4•5•6=24＞0，

设交点A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，

∴．

∴弦长．

解析

解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．

∴，

由得，

∴椭圆方程为．

（2）⇒5x2+12x+6=0．

△=122-4•5•6=24＞0，

设交点A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，

∴．

∴弦长．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：的离心率为，点与椭圆上任意一点的距离的最小值为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为左顶点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

正确答案

解：（Ⅰ）由，∴a2=2c2，b2=a2-c2=c2，

故椭圆方程可化为x2+2y2=2c2

设P（x，y）（x∈[-a，a]）是椭圆上任意一点，

则=，

∵a＞b＞1，∴1∈[-a，a]，

因此当x=1时，|PN|2取得最小值，

∴，得c2=2，

∴a2=2×2=4，b2=2．

故所求椭圆方程为．

（Ⅱ）由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-4=0，

△=16k2m2-2（2k2+1）（2m2-4）=32k2+16-8m2＞0（*）

故，

又M（-2，0），故直线AM方程为，令x=4得，

同理，

于是由得，

整理得：x1y2+x2y1=4（y1+y2），即x1（kx2+m）+x2（kx1+m）=4（y1+y2），

得2kx1x2+m（x1+x2）=4（y1+y2），

∴有，

整理得m=-k，代入（*）得△=24k2+16＞0

∴直线l方程为y=kx-k，过定点（1，0）．

解析

解：（Ⅰ）由，∴a2=2c2，b2=a2-c2=c2，

故椭圆方程可化为x2+2y2=2c2

设P（x，y）（x∈[-a，a]）是椭圆上任意一点，

则=，

∵a＞b＞1，∴1∈[-a，a]，

因此当x=1时，|PN|2取得最小值，

∴，得c2=2，

∴a2=2×2=4，b2=2．

故所求椭圆方程为．

（Ⅱ）由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-4=0，

△=16k2m2-2（2k2+1）（2m2-4）=32k2+16-8m2＞0（*）

故，

又M（-2，0），故直线AM方程为，令x=4得，

同理，

于是由得，

整理得：x1y2+x2y1=4（y1+y2），即x1（kx2+m）+x2（kx1+m）=4（y1+y2），

得2kx1x2+m（x1+x2）=4（y1+y2），

∴有，

整理得m=-k，代入（*）得△=24k2+16＞0

∴直线l方程为y=kx-k，过定点（1，0）．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（0，-1）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如果过点（0，）的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求•的值；当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．

正确答案

解：（I）因为椭圆经过点A（0，-1），所以b=1，

又e=，解得a=2，

所以椭圆的方程为．

（II）①若过点（0，）的直线的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件，

所以直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+，

把y=kx+代入椭圆方程得（1+4k2）x2+，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，

=，=，

因为A（0，-1），

所以=（x1，y1+1）•（x2，y2+1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1

=-；

②由①知：∠MAN=90°，如果△AMN为等腰直角三角形，设MN的中点为P，则AP⊥MN，且，

若k=0，则P（0，），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=；

若k≠0，则=-，解得k=，

所以直线MN的方程为y=x+，即或．

综上所述，直线MN的方程为y=或或．

解析

解：（I）因为椭圆经过点A（0，-1），所以b=1，

又e=，解得a=2，

所以椭圆的方程为．

（II）①若过点（0，）的直线的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件，

所以直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+，

把y=kx+代入椭圆方程得（1+4k2）x2+，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，

=，=，

因为A（0，-1），

所以=（x1，y1+1）•（x2，y2+1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1

=-；

②由①知：∠MAN=90°，如果△AMN为等腰直角三角形，设MN的中点为P，则AP⊥MN，且，

若k=0，则P（0，），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=；

若k≠0，则=-，解得k=，

所以直线MN的方程为y=x+，即或．

综上所述，直线MN的方程为y=或或．

题型：单选题

单选题

直线y=k（x+1）与曲线y=（x≥1）的公共点最多时实数k的取值范围为（　　）

正确答案

解析

解：把直线y=k（x+1）代入曲线y=（x≥1），

整理，得k2x2+（2k2-1）x+k2+1=0，

当直线y=k（x+1）与曲线y=（x≥1）的公共点最多时，

实数k满足，

整理，得，

解得0＜k＜．

故选B．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点．直线l与抛物线C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设•=，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）依题意知-=-1，解得p=2，

所以抛物线C的方程为y2=4x．（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（x1，-y1），且设直线l的方程为x=my-1（m≠0）．

将x=my-1代入y2=4x，并整理得y2-4my+4=0，

从而y1+y2=4m，y1y2=4．

所以x1+x2=（my1-1）+（my2-1）=4m2-2，

x1x2=（my1-1）（my2-1）=m2y1y2-m（y1+y2）+1=1．

因为=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），

所以•=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+4=8-4m2，

所以8-4m2=，解得m=±，

所以直线l的方程为x=±y-1，

即3x-4y+3=0或3x+4y+3=0．（14分）

解析

解：（1）依题意知-=-1，解得p=2，

所以抛物线C的方程为y2=4x．（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（x1，-y1），且设直线l的方程为x=my-1（m≠0）．

将x=my-1代入y2=4x，并整理得y2-4my+4=0，

从而y1+y2=4m，y1y2=4．

所以x1+x2=（my1-1）+（my2-1）=4m2-2，

x1x2=（my1-1）（my2-1）=m2y1y2-m（y1+y2）+1=1．

因为=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），

所以•=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+4=8-4m2，

所以8-4m2=，解得m=±，

所以直线l的方程为x=±y-1，

即3x-4y+3=0或3x+4y+3=0．（14分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

扫码查看完整答案与解析