热门试卷

解：（1）设Q（x0，0），F1（-c，0），A（0，b），

∵P分向量所成的比为λ，

∴P（，），∴（）2+（）2=1．        ①

而=（c，b），=（x0，-b），•=0，

∴cx0-b2=0．   ②

由①、②消去x0，得（）2+（）2=1，

即λ2=（1+λ）2-1，即（-e）2=1+∈（2，3）．   

（2）当λ=时，e-=-，

∴e=，a=2c．

又∵△AF1Q是直角三角形，其外接圆圆心是斜边中点，

∴圆心为（，0）=（，0）=（c，0），

半径为r===a．

由圆恰好与直线L：x+y+3=0相切，得=a，

∴a=2，b=．

∴椭圆方程为+=1．

解：（1）设c是此椭圆的半焦距，∵|PF|最大值与最小值分别为4和2，

∴，解得a=3，c=1，

∴b2=a2-c2=8．

∴椭圆C的标准方程是．

（2）如图所示，

由（1）可知A（-3，0），B（3，0）．

又．

∴直线l的方程为，化为．

设M（m，0），（-3≤m≤3），则点M到直线l的距离d==，

又|BM|=3-m，d=|MB|，∴，解得m=1．∴M（1，0）．

设直线PQ的方程为：my=x-1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

联立，化为（8m2+9）y2+16my-64=0，

显然△＞0．

∴，．

∴|PQ|===．

点A到直线l的距离d=．

∴S△APQ===．

令，g（t）=S（m）=．

，因此g（t）在[1，+∞）上单调递减，

∴S（m）=g（t）≤g（1）==．当且仅当m=0即PQ⊥x轴时取等号．

∴当PQ⊥x轴时，S△APQ的最大值为．

解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，由题意可知道：

，解得…（3分）

又因为a2=b2+c2，所以

所以椭圆的方程为…（6分）

（Ⅱ）依题意，直线OP的方程为y=x，…（7分）

因为S△OPQ=4，所以Q到直线OP的距离为2，…（8分）

所以点Q在与直线OP平行且距离为2的直线l上，

设l：y=x+m，则，解得m=±4  …（10分）

当m=4时，由，

消元得41x2+200x＜0，即 …（12分）

又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个．

当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．…（13分）

综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）

解：（1）根据题意，可得

∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1，

∴准线与x轴交于M（-1，0），可得直线l的方程为y=k（x+1），

设点A（x1，y1），可得y1=k（x1+1），

∴，，

又∵，可得4|AM|=5|AF|，

∴，解之得；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由消去x可得：，

由根与系数的关系，可得y1+y2=，y1y2=4．…①

∵=（x2+1，y2），=（x1+1，y1），且，

∴y2=4y1，代入①可得y1y2=4y12=4，解之得y1=±1，

因此y1=1且y2=4或y1=-1且y2=-4，得B的坐标为（4，±4）．

∴△FMB的面积为．