- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
设双曲线C：
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且
正确答案
解：（Ⅰ）由C与l相交于两个不同的点，
故知方程组
（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①
即有
∵双曲线的离心率e=
由于0＜a＜
∴e＞
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1），
由于
∴（x1，y1-1）=
即有x1=
由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，
∴x1+x2=
∴
消去x2得：
又∵a＞0
解得a=
解析
解：（Ⅰ）由C与l相交于两个不同的点，
故知方程组
（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①
即有
∵双曲线的离心率e=
由于0＜a＜
∴e＞
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1），
由于
∴（x1，y1-1）=
即有x1=
由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，
∴x1+x2=
∴
消去x2得：
又∵a＞0
解得a=
设抛物线C：y2=16x的焦点为F，过点Q（-4，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若|QA|=2|QB|，则直线l的斜率k=______．
正确答案
±
解析
解：抛物线y2=16x的焦点为F（4，0），准线为x=-4．作AA′、BB‘垂直准线，垂足为A'、B'．则题意知，|AA'|=2|BB'|，|QA'|=2|QB'|．即yA=2yB，xA+4=2（xB+4），
∴
∴yA=-8
∴xA=8，xB=2，
∴直线l的斜率
故答案为：
已知椭圆
正确答案
解析
解：由题意，A（-a，0），B（a，0），设P（x，y），则
∴
∵椭圆
∴
∴a2=4b2
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．
正确答案
解：联立
得（3k2+2）x2+12kx+6=0，
∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，
∴△=（12k）2-24（3k2+2）＞0，
解得k＜-
故k的取值范围是：（-
解析
解：联立
得（3k2+2）x2+12kx+6=0，
∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，
∴△=（12k）2-24（3k2+2）＞0，
解得k＜-
故k的取值范围是：（-
（I）求P的值；
（Ⅱ）设A是直线y=
正确答案
解：（I）由
设M1（x1，y1），M2（x2，y2），则
∵|M1M2|=
∴p2-p-12=0，解得p=4或p=-3（舍），且p=4满足△＞0，
所以p=4．
（Ⅱ）由（I）知抛物线方程为x2=8y，且
设
由A、M2，M3三点共线得，
所以
整理得x2x3-t（x2+x3）=-16，①
由B、M3，M1三点共线，同理可得x1x3-a（x1+x3）=-16，②
②式两边同乘x2得，x1x2x3-a（x1x2+x2x3）=-16x2，即16x3-a（16+x2x3）=-16x2，③
由①得x2x3=t（x2+x3）-16，代入③得16x3-16a-ta（x2+x3）+16a=-16x2，即16（x2+x3）=at（x2+x3），
所以at=16，
所以
解析
解：（I）由
设M1（x1，y1），M2（x2，y2），则
∵|M1M2|=
∴p2-p-12=0，解得p=4或p=-3（舍），且p=4满足△＞0，
所以p=4．
（Ⅱ）由（I）知抛物线方程为x2=8y，且
设
由A、M2，M3三点共线得，
所以
整理得x2x3-t（x2+x3）=-16，①
由B、M3，M1三点共线，同理可得x1x3-a（x1+x3）=-16，②
②式两边同乘x2得，x1x2x3-a（x1x2+x2x3）=-16x2，即16x3-a（16+x2x3）=-16x2，③
由①得x2x3=t（x2+x3）-16，代入③得16x3-16a-ta（x2+x3）+16a=-16x2，即16（x2+x3）=at（x2+x3），
所以at=16，
所以
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