热门试卷

解法一：（1）由已知得，解得，

∴椭圆E的方程为．

（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．

由，化为（m2+2）y2-2my-3=0，

∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．

G，

∴|GH|2==+=++．

===，

故|GH|2-=+=-+=＞0．

∴，故G在以AB为直径的圆外．

解法二：（1）同解法一．

（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．

由，化为（m2+2）y2-2my-3=0，

∴y1+y2=，y1y2=，

从而=

=+y1y2

=+

=-+=＞0．

∴＞0，又，不共线，

∴∠AGB为锐角．

故点G在以AB为直径的圆外．

解：（1）由已知及抛物线的定义可得：=1，即p=2，所以抛物线C的方程为：y2=4x（4分）

（2）设（t＞0），则M（t2，2t），F（1，0）．

因为M、F、N共线，则有kFM=kNF，（6分）

所以，解得，（8分）

所以，（10分）

因而，直线MN的方程是．（11分）

（3）“逆向问题”一：

①已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，

设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点．（13分）

证明：设过F的直线为y=k（x），P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x1，-y1）

由得，

所以，（14分）

，（15分）

=kRA，（16分）

所以直线RQ必过焦点A．（17分）

②过点的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴．

③已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过点B（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A（-m，0）．

“逆向问题”二：已知椭圆C：的焦点为F1（-c，0），F2（c，0），

过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点．

“逆向问题”三：已知双曲线C：的焦点为F1（-c，0），F2（c，0），

过F2的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点．

解：（1）∵点P在双曲线上，

且它到双曲线一个焦点F的距离是1，

∴=1，即c=，

设双曲线方程为，

把点P代入，得，

整理，得a4-5a2+4=0，解得a2=1，或a2=4（舍），

∴双曲线方程是x2-y2=1．

（2）∵双曲线方程是x2-y2=1，∴F（），

∴直线L1的方程是：，

由，得（1-k2）x2+，

当k=±1时，直线与双曲线的渐近线平行，弦长为0，成立．

当k≠±1时，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

|AB|=≤4，

∴（1+k2）•≤16，

整理，得3k4-10k2+3≥0，

解得k2≥3，或，

∴，或，或，

综上所述，L1的斜率的取值范围是{k|，或，或，或k=±1}．

解：（Ⅰ）由e==，a2-b2=c2，则a=2b，①

设M（m，n），则+=1，即b2m2=a2b2-a2n2，②

kAM=，AM：y=x-b，可得|OE|=||，

同理可得|OF|=||，则|OE|•|OF|==4③

由①②③可得a2=4，b2=1，

即椭圆方程为+y2=1；

（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由P，Q为椭圆上的点，

可设，，又kOP•kOQ=-，

可得=-，即有cos（α-β）=0，即有α=β+kπ+，k∈Z，

则|OP|2+|OQ|2=4cos2α+sin2α+4cos2β+sin2β=2+3（cos2α+cos2β）

=2+3[cos2（β+kπ+）+cos2β]=2+3（sin2β+cos2β）=2+3=5．

即有|OP|2+|OQ|2为定值．