- 反证法
- 共255题
设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；
（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。
（1）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（2）判断函数
（3）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v，若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（1）由题设条件可知，当
即
（2）函数g（x）满足题设条件，验证如下：
对任意的
当
当
当
有
所以，函数g（x）满足题设条件。
（3）这样满足的函数不存在，理由如下：
假设存在函数f（x）满足条件，则由
由于对任意的
所以，
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在。
已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x。
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围。
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由。
正确答案
解：（1）f′（x）=a
接下来分两步：
㈠、先考虑条件①：
（i）当a+1≥0时，即a≥-1时，可得f'（x）＜0在R上恒成立，
故f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，与题意不符。
（ii）当a+1＜0时，即a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，
此时f（x）在（ln（-a-1），+∞）上单调递减，
在（-∞，ln（-a-1））上单调递增，
从而x0=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，
结合题意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，
所以a∈（-1-e，-1）；
㈡、下面找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围
又∵f′（x）=
设g（x）=-1-
则g'（x）=
所以f′（x）在（1，+∞）上单调递减，
而f′（1）=-1-
当x无限的趋近于+∞时，f′（x）无限的趋近于-1，
可得f′（x）∈（-1，-1-
直线l 的斜率k=
∵直线l 不是函数f（x）图象的切线，
∴-1-
即-2a-1≤ex在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥
综上所述，a的取值范围是[
（2）由（1）知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，
∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），
∴不妨设x1＜x2＜x3，可得f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
下面用反证法说明A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线：
若A、B、C三点共线，则有f（x2）=
所以 2
接下来说明角B是钝角：
∴
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，
∴
可得∠B∈（
假设△ABC为等腰三角形，只能是 
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2∵x2-x1=x3-x2，
∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2结合f（x1）＞f（x2）＞f（x3），
化简得2f（x2）=f（x1）+f（x3），
也就是2aln（1+
将2x2=x1+x3代入即得：2aln（1+
∴2ln（1+
可得
而事实上，若①成立，根据
必然得到 
所以△ABC不可能为等腰三角形。
如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。
（1）若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；
（2）用反证法证明：直线ME与BN 是两条异面直线。
正确答案
解：（1）取CD的中点G连结MG，NG
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG=2，
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可
得MG⊥NG
所以
（2）假设直线ME与BN共面
则
由已知，两正方形不共面，故
又AB∥CD，
所以AB∥平面DCEF
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN
又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与
故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。
若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P。
（1）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由。
①y=ax（a>1）； ②y=x3（2）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n>2，n∈N*），求证：对任意i∈ {1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（3）在（2）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0，若成立给出证明，若不成立给出反例。
正确答案
解：（1）证明：①函数f（x）=ax（n>1）具有性质P
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=
因为a>1，
即f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），此函数为具有性质P；
②函数f（x）=x3不具有性质P
例如，当x=-1时，f（x-1）+f（x+1）=f（-2）+f（0）=-8，
2f（x）=-2，
所以，f（-2）+f（0）＜f（-1），此函数不具有性质P。
（2）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n-1）中第一个大于0的值，
则f（1）- f（i-1）>0，
因为函数f（x）具有性质P，所以，对于任意n∈N*，
均有f（n+1）-f（n）≥f（n）-f（n-1），
所以f（n）-f（n-1）≥f（n-1）-f（n-2）≥… ≥f（i）-f（i-1）>0，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+…+[f（i+1）-f（i）]+f（i）>0，
与f（n）=0矛盾，
所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0。
（3）不成立
例如
证明：当x为有理数时，x-1，x+1均为有理数，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2x2-n（x-1+ x+1-2x）=2
当x为无理数时，x-1，x+1均为无理数，
f（x-1）+f（x+1）-2f（x）=（x-1）2+（x+1）2-2x2=2，
所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），
即函数f（x）具有性质P
而当x∈[0，n]（n>2）且当x为无理数时，f（x）>0
所以，在（2）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立。
已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)=x3-ax2+bx-c=0有三个实根x1，x2，x3，
(Ⅰ)类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
(Ⅱ)若a，b，c均大于零，试证明：x1，x2，x3都大于零；
(Ⅲ)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x=α，x=β处取得极值，且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围。
正确答案
解：(Ⅰ)由已知，得x3-ax2+bx-c=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，
比较两边系数，得a=x1+x2+x3，b=x1x2+x2x3+x3x1，c=x1x2x3；
(Ⅱ)证明：由c＞0，得x1，x2，x3三数中或全为正数或一正二负，
若为一正二负，不妨设x1＞0，x2＜0，x3＜0，
由x1+x2+x3=a＞0，得x1＞-(x2+x3)，
则x1(x2+x3)＜-(x2+x3)2，
又b=x1x2+x2x3+x3x1=x1(x2+x3)+x2x3＜-(x2+x3)2+x2x3
这与b＞0矛盾，所以x1，x2，x3全为正数．
(Ⅲ)令f(x)=x3-ax2+bx-c，要f(x)=0有三个不等的实数根，则函数f(x)有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0，
由已知，得f′(x)=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴
由①③，得b＞-3，
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1，将b=-1代入①③，得a=0，
∴f ′(x)=3x2-1，则
且f(x)在
故f(x)=0要有三个不等的实数根，则必须
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