热门试卷

（1）解：∵a1=1，a2=2，

∴a3=5a2﹣3a1=7，a4=5a3﹣3a2=29

（2）证明：假设an，a n+1，a n+2中存在两项为偶数，若有相邻两项为偶数，

不妨设an，a n+1为偶数，

由已知3a n﹣1=5an﹣a n+1或a n﹣1=an﹣a n+1，

得a n﹣1必为偶数，以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，

若有不相邻两项为偶数，不妨设an，a n+2为偶数，

由已知5a n+1=3an+a n+2或a n+1=an+a n+2得a n+1必为偶数，

以此类推，可得a1为偶数，与已知条件矛盾，

故任意相邻三项不可能有两个偶数

（3）解：由n=1，2显然满足题意，

下证：n≥3时，无满足题意的n，

设使得an是4的倍数的最小下标为m，则

由（1）知m＞4，

由于am是偶数，由（2）知a m﹣1，a m﹣2为奇数，

再由已知条件知a m﹣3为偶数

又a m﹣1=5a m﹣2+a m﹣3或am=a m﹣1+a n﹣2得3a m﹣3=4a m﹣2﹣am，

从而a m﹣3也为4的倍数，与假设矛盾，

综上所述，当n≥3时，无满足题意的n使得 ，

故n=1，2

解：（1）由已知得

∴

故，。

（2）由（1）得

假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则

即

∴

∵

∴

∴

∴

与矛盾

所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列。

解：（1）由于且a1=1，

所以当a2=-1时，得，

故 　

从而

（2）数列{an}不可能为等差数列

证明如下：由a1=1，得

若存在，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即 　 　

解得=3

于是　　　　　

这与{an}为等差数列矛盾，

所以，对任意，{an}都不可能是等差数列。

（3）记

根据题意可知，b1＜0且，即＞2且N*），

这时总存在N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0-1时，bn＜0

所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，则，

从而当n＞n0时an＜0；

若n0为奇数，则，

从而当n＞n0时an＞0

因此“存在m∈N*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：n0为偶数，

记n0=2k（k=1，2， …），则满足

故λ的取值范围是4k2+2k（k∈N*）。

解：（Ⅰ）因是公比为d的等比数列，

从而，

由，

故解得d=3或d=-4（舍去），因此d=3，

又，

从而当n≤1005时，；

当1006≤n≤2009时，

由是公比为d的等比数列，

得，

因此；

（Ⅱ）由题意得

 ，

由①得，④

由①，②，③得，

故，⑤

又，

故有，⑥

下面反证法证明：m=6k，若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5，

若取p=1即m=6k+1，

则由⑥得，

而由③得，得，

由②得，

而，

由④及⑥可推得（1≤n≤m）与题设矛盾；

同理若P=2，3，4，5均可得（1≤n≤m）与题设矛盾，

因此m=6k为6的倍数，

由均值不等式得，

由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），

故等号不成立，从而；

又m=6k，由④和⑥得

，

因此由⑤得

。