- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
若函数y=x3-2mx2+m2x在x=1处取得极小值，则实数m=______．
正确答案
1
解析
解：由题意，求导函数可得f‘（x）=（x-m）2+2x（x-m）
因为在x=1处取得极小值，所以f'（1）=0，即（1-m）2+2（1-m）=0
∴（1-m）（3-m）=0，∴m=1或m=3
①当m=1时，f'（x）=（x-1）2+2x（x-1）=（x-1）（3x-1），
若
②当m=3时，f'（x）=（x-3）2+2x（x-3）=（x-3）（3x-3），若x＜1时，f'（x）＞0，若1＜x＜3时，f'（x）＜0，此时在x=1处取得极大值．不满足，舍去
综上：m=1
故答案为：1
函数f（x）=（1+x-
正确答案
5
解析
解：∵函数f（x）=（1+x-
∴设g（x）=1+x-
∴g′（x）=1-x+x2＞0恒成立，
即g（x）为单调递增函数，
g（0）=1，g（-1）=1-1-
有一个零点在（-1，0）
由cos2x=0求x的个数，由2x=kπ
所以cos2x=0有4个零点，
g（-
可以判断函数f（x）=（1+x-
故答案为：5
已知函数f（x）=
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
正确答案
解：（1）当a=-2时，f（x）=
f′（x）=-1/x2-3+，令f′（x）＞0得3x2-4x+1＜0⇒＜x＜1
∴f（x）的单调区间为（
极小值为f（
（2）f′（x）=-1/x2-3+
令f′（x）＞0得3x2-（2-a）x+1＜0
△=（2-a）2-12-a2-4a-8 由△≤0得2-2
∴当2-2
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
令g（x）=3x2-（2-a）x+1 其对称轴为x=
当
∴f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
当
方程 3x2-（2-a）x+1=0的两根为x12=
则不等式①的解为
∴f（x）在（
在（0，
综上：当a≥2-2
f（x）在（0，+∞）单调递减
当a＜2-2√3时
f（x）在（
在（0，
解析
解：（1）当a=-2时，f（x）=
f′（x）=-1/x2-3+，令f′（x）＞0得3x2-4x+1＜0⇒＜x＜1
∴f（x）的单调区间为（
极小值为f（
（2）f′（x）=-1/x2-3+
令f′（x）＞0得3x2-（2-a）x+1＜0
△=（2-a）2-12-a2-4a-8 由△≤0得2-2
∴当2-2
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
令g（x）=3x2-（2-a）x+1 其对称轴为x=
当
∴f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立
∴f（x）在（0，+∞）单调递减
当
方程 3x2-（2-a）x+1=0的两根为x12=
则不等式①的解为
∴f（x）在（
在（0，
综上：当a≥2-2
f（x）在（0，+∞）单调递减
当a＜2-2√3时
f（x）在（
在（0，
函数y=lnx-x2的极值点为______．
正确答案
解析
解：函数的定义域为（0，+∞），
y′=
令y′=0，得x=
当0＜x＜
所以当x=
故答案为：
已知函数f（x）=
（1）若曲线y=f（x）在点（
（2）若函数f（x）的极值点x0∈（1，2），求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）
∴切线的斜率k=2，∴
∴a=1；
（2）∵
①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值，不合题意；
②当a＜0时，令f′（x）=0，即1+4ax2=0，
∵x∈（0，+∞），故
∴
故
依题意：
解得：
综上所述，a的取值范围为
解析
解：（1）
∴切线的斜率k=2，∴
∴a=1；
（2）∵
①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值，不合题意；
②当a＜0时，令f′（x）=0，即1+4ax2=0，
∵x∈（0，+∞），故
∴
故
依题意：
解得：
综上所述，a的取值范围为
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