平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：填空题

填空题

给出下列命题：

①“x＝一1”是“x2一5x一6＝0”的必要不充分条件；

②在△ABC中，已知则;

③在边长为1的正方形ABCD内随机取一点M，MA＜1的概率为于

④若命题p是：:对任意的，都有sinx≤1,则为：存在,使得sinx > 1.

其中所有真命题的序号是＿＿＿＿

正确答案

②③④

试题分析：因为将x=-1代入方程x2一5x一6＝0成立，所以充分性成立，所以①不正确.因为△ABC中.又因为.所以，所以②正确. ③显然正确. ④显然正确.故填②③④.

题型：简答题

简答题

已知点P在第一象限内，以P为圆心的圆过点A（-1，2）和B（1，4），线段AB的垂直平分线交圆P于C、D两点，且|CD|=2．

（1）求直线CD的方程；

（2）求圆P的方程；

（3）若直线AB与x轴交于点M，求•的值．

正确答案

（1）∵A（-1，2）和B（1，4）

∴AB的中点为（0，3），∴kAB=1

∵AB⊥CD∴kCD=-1---------（2分）

∴直线CD的方程为y=-x+3，即x+y-3=0---------（4分）

（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）

∵|CD|=2，∴圆P的半径为

∴圆P的方程为（x-a）2+（y-b）2=10---------（5分）

∵A在圆P上，∴（a+1）2+（b-2）2=10

∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）

∴（a+1）2+（1-a）2=10

∴a=±2∵a＞0

∴a=2

∴圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=10--------（11分）

（3）直线AB的方程为y-2=x+1，即x-y+3=0

令y=0x=-3得∴M（-3，0）--------（12分）

设AB与CD交于点E，由题意AB⊥CD，

∴•=0，•=0-------（13分）

∴•=(+)•(+)=||2+•=||2+||•||cos180°

∵ME==3，PE=2，

∴•=2，∴•=18-2=16-------（16分）

题型：简答题

简答题

已知△ABC中，||•||=4且0≤•≤2，设和的夹角θ．

（1）求θ的取值范围；

（2）求函数y=2sin2θ-sin2θ的最大值与最小值．

正确答案

（1）由已知条件||•||=4且0≤•≤2及公式cosθ=

得：0≤cosθ≤，

故≤θ≤．

（2）y=2sin2θ-sin2θ=1-cos2θ-sin2θ=1-2sin(+2θ)

由≤θ≤，得≤+2θ≤，从而≤sin(+2θ)≤1，

∴-1≤y≤0，即函数的最大值为0，最小值为-1

题型：简答题

简答题

已知A、B、C是直线l上的三点，向量、、满足-（y+1-lnx）+=，（O不在直线l上a＞0）

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）若函数f（x）在[1，∞]上为增函数，求a的范围；

（3）当a=1时，求证lnn＞+++…+，对n≥2的正整数n成立．

正确答案

（1）∵-（y+1-lnx）+=，

∴=（y+1-lnx）-，

∵A，B，C三点共线

∴（y+1-lnx）-=1

∴y=lnx+；

（2）f（x）=lnx+，∴f′（x）=-

∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴-≥0在[1，+∞）上恒成立

∴a≥

∵≤1，∴a≥1；

（3）证明：当a=1时，f（x）=lnx+-1

由（2）知，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0

∴lnx≥1-（当且仅当x=1时取“=”）

将x用替代得ln＞1-=

∴ln+ln+…+ln＞+++…+

∴lnn＞+++…+

题型：简答题

简答题

如图，已知点A（1，1）和单位圆上半部分上的动点B．

（1）若⊥，求向量；

（2）求|+|的最大值．

正确答案

（1）依题意，B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π（不含1个或2个端点也对）

=（1，1），=（cosθ，sinθ）（写出1个即可），

因为⊥，所以•=0，即cosθ+sinθ=0，

解得θ=，所以OB=（-，）．

（2）+=（1+cosθ，1+sinθ），

则|OA+OB|==，

∴|+|2=3+2(sinθ+cosθ)，

令t=sinθ+cosθ，则t2=1+sin2θ≤2，即t≤，

∴|+|2≤3+2=(+1)2，有|+|≤+1

当2θ=，即θ=时，|+|取得最大值+1．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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