- 导数及其应用
- 共31591题
若曲线y=x4的一条切线l与直线x-4y-8=0垂直，则l的方程是______．
正确答案
4x+y+3=0
解析
解：设切点P（x0，y0）
∵直线x-4y-8=0与直线l垂直，且直线x-4y-8=0的斜率为
∴直线l的斜率为-4，
即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为-4，
令y′|x=x0=4x03=-4，得到x0=-1，进而得到y0=1
利用点斜式，得到切线方程为4x+y+3=0．
故答案为：4x+y+3=0．
已知函数f（x）=ex，则当x1＜x2时，下列结论正确的是（ ）
Ae
Be
Ce
De
正确答案
解析
解：∵f（x）=ex，∴f′（x）=ex，
∴x1＜x2时，f′（x2）=e
故选：C．
物体的运动方程是s=-
正确答案
3
解析
解：∵s′=-
∴s′|t=3=-
∵s″=-t+6，
∴s″|t=3=-3+6=3，
故答案为：
已知函数y=ex的图象在点
正确答案
-6
解析
解：∵y=ex，
∴y′=ex，
∴y=ex在点（ak，eak）处的切线方程是：
y-eak=eak（x-ak），
整理，得eakx-y-akeak+eak=0，
∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1，
∴ak+1=ak-1，
∴{an}是首项为a1=0，公差d=-1的等差数列，
∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．
故答案为：-6．
给出下列四个命题：
①已知a，b，m都是正数，且
②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜-1；
③已知x∈（0，π），则
④函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线斜率为0
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①④
解析
解：选项①，由于a，b，m都是正数，且
选项②，不妨取a=-2，由-2x+1＞0可解得x＜
选项③，由基本不等式的性质可得要使
选项④，因为函数f（x）是R上的可导偶函数，故在x=0处的导数值为0，又5为周期，故在x=5处的导数值为0，
由导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在x=5处的切线斜率为0，故正确．
故答案为：①④
已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，∴b=1，
∴f（x）=x2+x，∴
∴S2011=（1-
故选A．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由图可得-1＜f‘（x）＜1，切线的斜率k∈（-1，1）
且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢
∴结合选项可知选项B符合
故选B．
函数y=f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义是（ ）
正确答案
解析
解：f′（x0）的几何意义是在切点（x0，f（x0））处的斜率，
∵直线的斜率是倾斜角的正切值
∴f′（x0）的几何意义是在切点（x0，f（x0））处的倾斜角的正切值
故选：D．
设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
正确答案
解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12
解得：a=1，b=-3．
（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x2-6ax+3b=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．
解析
解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12
解得：a=1，b=-3．
（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x2-6ax+3b=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．
已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x2|+lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调增区间；
（2）设
正确答案
解：（1）由a=2，得f（x）=|2x-x2|+lnx（x＞0）．
当0＜x＜2时，
由f′（x）=0，得-2x2+2x+1=0，解得
当
∴函数f（x）的单调增区间为（0，
当x＞2时，
由f′（x）=0，得2x2-2x+1=0．
f（x）在（2，+∞）上为增函数．
∴函数f（x）的单调增区间为（
（2）
①若a≤1，则
∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1-lnx≥0，x2+1-lnx≥0，∴g′（x）＞0．
∴g（x）在[1，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（1）=1-a．
②a≥e，则g（x）=a-x+
令h（x）=-x2+1-lnx，则
所以h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0．
所以g（x）在[1，e]上为减函数，所以g（x）的最小值为g（e）=a-e+
③当1＜a＜e，
由①，②知g（x）在[1，a]上为减函数，在[a，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（a）=
综上得g（x）的最小值为g（a）=
解析
解：（1）由a=2，得f（x）=|2x-x2|+lnx（x＞0）．
当0＜x＜2时，
由f′（x）=0，得-2x2+2x+1=0，解得
当
∴函数f（x）的单调增区间为（0，
当x＞2时，
由f′（x）=0，得2x2-2x+1=0．
f（x）在（2，+∞）上为增函数．
∴函数f（x）的单调增区间为（
（2）
①若a≤1，则
∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1-lnx≥0，x2+1-lnx≥0，∴g′（x）＞0．
∴g（x）在[1，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（1）=1-a．
②a≥e，则g（x）=a-x+
令h（x）=-x2+1-lnx，则
所以h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0．
所以g（x）在[1，e]上为减函数，所以g（x）的最小值为g（e）=a-e+
③当1＜a＜e，
由①，②知g（x）在[1，a]上为减函数，在[a，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（a）=
综上得g（x）的最小值为g（a）=
路灯距地面为8米，一个身高为1.7米的人以每秒1.4米的速度均匀地从路灯的正底下沿某直线离开路灯，那么人影的变化速率为______米/秒．
正确答案
解析
设人为线段CD，
得出
解得v=
人影长度变化速度是
故答案为：
一质点运动的方程为s=8-3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
正确答案
解：由题意可知：
（1）∵s=8-3t2
∴△s=8-3（1+△t）2-（8-3×12）=-6△t-3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：
（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度为
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=s‘（t）=（8-3t2）'=6t，
∴当t=1时，v=-6×1=-6．
解析
解：由题意可知：
（1）∵s=8-3t2
∴△s=8-3（1+△t）2-（8-3×12）=-6△t-3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：
（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度为
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=s‘（t）=（8-3t2）'=6t，
∴当t=1时，v=-6×1=-6．
物体的运动方程
正确答案
解析
解：物体的速度方程v=S′（t）=
即它的初始速度是1
故选B．
若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则
正确答案
解析
解：由题意，根据导数的定义，可知f′（x0）=
∴
故选B．
点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s=
正确答案
解析
解：∵s=
∴S′=t3
S′=0，解得t=0，
故选：B
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