- 导数及其应用
- 共31591题
若质点P的位移S（单位：m）关于运动时间t的函数关系式为：S=4ln（t+1）+t2（t＞0），则其瞬时速度的最小值为______（m/s）
正确答案
（4
解析
解：S′=
当且仅当
故答案为：4
曲线y=
正确答案
解析
解：∵曲线y=
∴y′=x2
当x=1时，切线的斜率是1，
根据直线的倾斜角的取值范围，
∴倾斜角是45°．
故选B．
已知函数
正确答案
解析
解：根据题意知可知x＞0，函数
∵
∴-2x+1＞0
∴x＜
∴a的最大值为
故答案为
设函数y=f（x）=x3-2x+5，求适合下列条件的自变量的增量和对应的函数增量：
（1）当x由2变到3；
（2）当x由2变到1；
（3）当x由2变到2+△x；
（4）当自变量由xn变到x．
正确答案
解：函数y=f（x）=x3-2x+5，
（1）∵x由2变到3；
∴△x=3-2=1，△y=f（3）-f（2）=26-9=17，
（2）∵当x由2变到1，
∴△x=2-1=1，△y=f（1）-f（2）=4-9=-5，
（3）∵当x由2变到2+△x，
∴自3x•（△x）2+3•（△x）•x+（△x）3，
（4）当自变量由xn变到x．
自变量的增量△x=x-xn和对应的函数增量△y=f（x）-f（xn）：
解析
解：函数y=f（x）=x3-2x+5，
（1）∵x由2变到3；
∴△x=3-2=1，△y=f（3）-f（2）=26-9=17，
（2）∵当x由2变到1，
∴△x=2-1=1，△y=f（1）-f（2）=4-9=-5，
（3）∵当x由2变到2+△x，
∴自3x•（△x）2+3•（△x）•x+（△x）3，
（4）当自变量由xn变到x．
自变量的增量△x=x-xn和对应的函数增量△y=f（x）-f（xn）：
正确答案
所以80=
即s=30，r上底2=
由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，
由图知：
此时水的体积为
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=
h′=
又当h=4时，有t=
h′=
根据导数的概念对称水杯中水升高的瞬时变化率
故答案为：
解析
所以80=
即s=30，r上底2=
由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，
由图知：
此时水的体积为
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=
h′=
又当h=4时，有t=
h′=
根据导数的概念对称水杯中水升高的瞬时变化率
故答案为：
点P在曲线y=2x3-x+5上移动，设点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A[0，
B[0，
C[
D（
正确答案
解析
解：是切点P（x0，y0），由f′（x）=6x2-1，得过切点p处的切线的斜率k=
∴tanα≥-1，解得α∈[0，
故选B．
过函数f（x）=x2-x的图象上一点P的切线平行于直线x-y=0，则点P的坐标为______．
正确答案
（1，0）
解析
解：∵过函数f（x）=x2-x的图象上一点P的切线平行于直线x-y=0，
∴f′（x）=2x-1=1，解得 x=1．
把x=1 代入函数f（x）=x2-x可得f（x）=0，故点P的坐标为（1，0），
故答案为 （1，0）．
已知函数f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为2x-y+1=0，则f（1）+f′（1）=______．
正确答案
5
解析
解：∵函数f（x）的图象在点M（1，f′（1））处的切线方程为2x-y+1=0，
∴f′（1）=k=2
将点M（1，f（1））代入2x-y+1=0得2×1-f（1）+1=0
∴f（1）=3
∴f（1）+f′（1）=5
故答案为：5
若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出以下四个函数
①f（x）=
②f（x）=|x|
③f（x）=
④f（x）=x2
其中是完美函数的序号是______．
正确答案
①
解析
解：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．
对于①：f（x）=
对于②：f（x）=|x|，|f（x2）-f（x1）|=||x2|-|x1||=|x2-x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于③：f（x）=（
故答案为：①．
曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（ ）
正确答案
解析
解：曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率
k=y′=2x+3=2×2+3=7，
故答案为 7．
已知函数f（x）=2x2-1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则
正确答案
解析
解：∵△y=2（1+△x）2-1-1=2△x2+4△x，
∴
f′（x）=4x，所以f′（1）=4．
故选C．
若一物体运动方程如下：
正确答案
6，0
解析
解：对方程求导得：
代入数据计算得t=1时v=6，t=3时v=0，
故答案为6，0．
设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数值的改变量△y等于（ ）
正确答案
解析
解：∵自变量x由x0改变到x0+△x，
当x=x0，y=f（x0），
当x=x0+△x，y=f（x0+△x），
∴△y=f（x0+△x）-f（x0），
故选D．
某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段的增长量相等，
设为M，则M=v1t1=v2t2=v3t3，
整个时段内的平均增长速度为
故选D．
一质点的运动方程为S=2t2+3（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t=2秒时的瞬时速度为______米/秒．
正确答案
8
解析
解：由S=2t2+3，得s′=4t，
所以质点在t=2秒时的瞬时速度为s′|t=2=4×2=8（米/秒）．
故答案为8．
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