- 导数及其应用
- 共31591题
函数
A（2，-1）
B（0，0）
C
D（4，0）
正确答案
解析
解：y′=
函数
即
代入函数
得y=-1．
故选A．
一物体的运动方程为S=（1+t）2，则在t=1.2秒时的瞬时速度为 ______．
正确答案
4.4
解析
解：由函数S=（1+t）2，求导得：
s′=2（t+1）
又∵t=1.2
∴s′=2（1.2+1）=4.4
由导数的几何意义可知在t=1.2秒时的瞬时速度为4.4
故答案为：4.4
设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值为（ ）
A-e
B
Ce2
D-
正确答案
解析
解：函数的定义域为（0，+∞）．
∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1=0，可得x=
∴0＜x＜
∴x=
故选：D．
曲线y=
正确答案
解析
解：y′=（
∴k=y′|x=1=-2．
l：y+1=-2（x-1），则y=-2x+1．
故选：D
函数
正确答案
解析
解：∵y′=cos2x-2xsin2x，
∴
整理得：4πx+8y-π2=0，
故选C．
设正弦函数y=sinx在x=0和x=
正确答案
解析
解：当自变量从0到0+△x时，k1=
当自变量从
当△x＞0时，k1＞0，k2＜0即k1＞k2；
当△x＜0时，k1-k2=
∵△x＜0，△x-
∴k1＞k2
综上所述，k1＞k2．
故选A．
曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为______．
正确答案
y=3x+1
解析
解：y′=ex+x•ex+2，y′|x=0=3，
∴切线方程为y-1=3（x-0），∴y=3x+1．
故答案为：y=3x+1
对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x）且a＞0则ea•f（0）与f（a）的大小关系为：ea•f（0）______f（a）（用≤，≥，＜，＞之一填空）．
正确答案
＜
解析
解：∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）-f（x）＞0，
又∵e-x＞0，∴e-x[f′（x）-f（x）]＞0
∴e-xf′（x）-e-xf（x）＞0
而[e-xf（x）]′=（e-x）′f（x）+e-xf′（x）=-e-xf（x）+e-xf′（x）＞0
∴函数F（x）=e-xf（x）是单调递增函数，又∵a＞0
所以F（a）＞F（0），即e-af（a）＞e-0f（0）=f（0）
变形可得：eaf（0）＜f（a），
故答案为：＜
曲线
正确答案
x+y-2=0
解析
解：因为
所以在点（1，1）处的切线斜率
所以切线的方程为y-1=-（x-1），即切线方程为x+y-2=0．
故答案为：x+y-2=0．
为迎接2010年11至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m）是h（t）=-4.8t2+8t+10．则该运动员在t=2秒时的瞬时速度为______m/s，经过______秒后该运动员落入水中．
正确答案
-11.2
2.5
解析
解：h′（t）=-9.6t+8，当t=2秒时，h′（t）=-9.6×2+8=-11.2，令h（t）=-4.8t2+8t+10=0，得t=2.5
故答案为-11.2；2.5．
如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为______．
正确答案
54
解析
解：∵质点按规律S=2t3运动，
∴s′=6t2
∵s′|t=3=6•32=54．
∴质点在3s时的瞬时速度为54．
故答案为：54．
已知函数f（x）=-lnx，x∈（0，e）．在曲线y=f（x）上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为______．
正确答案
解析
解：设切点为（t，f（t））
由已知 
所以曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线方程为 
令y=0，得A点的横坐标为xA=t（1-lnt），
令x=0，得B点的纵坐标为yB=1-lnt，
当t∈（0，e）时，xA＞0，yB＞0，
此时△AOB的面积 
解S‘＞0，得 
所以 
所以，当 
故答案为：
已知曲线y=2ax2+1在横坐标为1的点M处的瞬时变化率为-4，则a的值为（ ）
A
B-1
C
D不确定
正确答案
解析
解：由y=2ax2+1，得到y′=4ax，
因为曲线y=2ax2+1在横坐标为1的点M处的瞬时变化率为-4，
所以y′=4a=-4，
解得a=-1，
故选：B．
函数f（x）=x3-lnx在区间[1，e]上的平均变化率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵f（e）-f（1）=e3-1-1=e3-2，
∴函数在区间[1，e]上的平均变化率是
故选B
路灯距地面为6m，一个身高为1.8m的人以0.8m/s的速度从路灯的正底下，沿某直线离开路灯，人影长度S（m）随人从路灯的正底下离开路灯的时间t（s）的变化而变化，那么人影长度的变化速度v为______（m/s）．
正确答案
解析
解：设人经过时间ts后到达点B，这时影长为AB=S，
如图由平几的知识可得
∴S=
由导数的意义知人影长度的变化速度v=S′（t）=
故答案为：
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